其實隨時可以學下一部份，只要……
只要你 願意承認前面有沒學懂的東西，還能心平氣和地回去學懂 。
（而這一點是很多人做不到的，這需要內心極其強大，以及無與倫比的耐心。）
比如費曼（量子電動力學發明人之一，諾貝爾物理學獎得主）就是這樣做的，轉述一個在某本書裏的描述，他看書就是 「先一直往後看，一直看到看不下去的地方，再退回去看」，可以說是對知識點進行一個深度優先的遍歷——這方法其實挺好的，在知識不是線性排列的時候尤其適用。
然而這種方法一般人有 hold 不住的危險。要用這種方法學習，必須內心強大，對自己非常誠實，心態出點偏差這人就廢了。（看過費曼的傳記，就會知道他是對內心非常誠實的人。）
風險之一是，不能承認自己不懂，很多概念混個臉熟就認為自己懂了。——如果為了裝懂而學，其實很容易把自己也忽悠進去，比如學了個新學科就滿嘴名詞，其實離理解還有很長距離。而且新學科裏面經常有那種不太費勁的結論，比如剛看代數拓撲的時候很多結論，像球面的同調群同構於整數群之類的，直接拿過來用就能證明很多原來分析裏證不了的東西（比如 Brouwer 不動點定理），給人一種自己很強大的錯覺。其實這只能說明工具以及工具的發明人強大，和自己的實力關系不大。新學功夫套路，總能學到點花拳繡腿，忽悠一下外行，但是有些人可能學了一年兩年還在練基本功，亮不出什麽花拳繡腿，但這並不是他們不如你的表現。
上面提到的例子，本質上是陷入用 「熟悉」 來代替 「理解」 的誤區。有很多事情其實解釋起來非常復雜——比如煤氣燃燒，火焰發出藍色的光芒——但是因為熟悉，我們通常不會去想為什麽。但是如果學習數學是這種方式，很容易把自己變成工科生的狀態。（並不是說工科生不好，只是他們對數學的理解和套用的側重點和數學系的人是不一樣的。）最可怕的是，你從此適應了一種似懂非懂的狀態，這個狀態在學的東西比較淺的時候危害並不明顯，但是很妨礙向前走。
另一種風險是，沾了看似高深的東西的皮毛，就不願意踏踏實實學基本的內容。比如你跟富豪玩耍了幾天，揮金如土，像劉姥姥進大觀園一樣漲了點見識，還願意去老老實實幹一小時掙 50 元的辛苦活嗎? 能做到的話，其實見識廣點挺好的，但是不能做到的話，就危險。如果虛榮心比較強，很可能會有 「呀，我昨天在看泛函分析，今天退回來看線性代數裏面沒有掌握好的內容，會不會很丟臉」 之類的想法——這種想法趁早丟掉。本來呢，知道一些好的數學，是有好處的，但是如果對心態造成了巨大的影響，就得不償失了。（看題主匿名了，尤其擔心這方面的心態問題，嗯。）
說上面這些並不是反對擴充知識面，只是做一些善意的提醒。要是想擴充點知識面，請抱著一種仰望星空的心態，仰望完了回頭還得腳踏實地學習。真的擴充點知識面之後就會知道，頂尖的數學在搞星際戰役，然後你學的數學就像在地球上一個寧靜的小湖邊上砌磚墻抹石灰——就這樣你還能保持對自己的信心，相信磚墻砌好了總有一天你也能參與到星際戰爭裏去，那就可以說心態不錯了。
本科階段跟某老師聊天，老師提到 Voevodsky 因為 motivic homotopy 的工作拿了費爾茲獎，然後書架上拿出來 2002 年北京的國際數學家大會 (ICM) 的報告，翻到 Voevodsky 的一小時報告，第一句裏就有 「triangulated category」 這個詞。當時才大二，自然是不知所雲。平心而論，如果有耐心和恒心，本科四年念完的時候知道 triangulated category 為何物也不錯，起碼北美很多學校剛入學的研究生是不知道的。如果心態擺正，看到這個概念能耐心去學（還不排除你找來一本講 triangulated category 的書，發覺上面的第一個概念也沒聽過的可能性），學完了發現還是搞不懂 motivic homotopy theory 還能有耐心去學第二句話裏面的概念，那可以說這種心態已經很強大了。真是這樣的話，有誌者事竟成，請務必加油。（但是，你現在已經知道 triangulated category 這樣的詞匯了，你能抵住用名詞裝逼的誘惑嗎?）
最後，這種知識面的擴充完全應該是學有余力的情況下做的，前面提到 「本科四年念完的時候知道某個概念為何物也可以說不錯」，這並不是讓你把自己拋下常識（比如復變函式、常微分方程式、機率論、曲線和曲面的微分幾何），去用這種高深的東西武裝自己。誠然，很多本科的東西是十八十九世紀的數學，學完了也沒什麽了不起的。但是基本上只有經歷了實用性（理論和工程上的）和美學的多重考驗還沒被淘汰掉的學科才會留在數學系的課表裏面。它們本身就是簡單優美的，而且是練手的好機會，能把數學上的成熟性慢慢建立起來，也有助於幫你發現自己的興趣所在。這些學科離微積分不遠，能讓你看見一個抽象的概念是怎麽來的，如果基礎好的話，遇到困難，能退到微積分的領域，拿起紙和筆跟抽象的概念作戰，則更能欣賞抽象的概念，這類從抽象到具體再到抽象的轉化（也就是別人說的算例子，把一個抽象的概念拆開，轉化成具體的問題算清楚，然後再用抽象的語言把結論說明白），對於成熟性的增長很有幫助。
分享的東西其實有一部份也是過來人踩的坑，懂的人自然懂。希望有點幫助，祝好運。
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P.S. 聽說有圖的答案比較受歡迎，跑題放個費曼的照片吧：
嗯，這貨還說過物理和數學的關系就像做愛和手淫的關系一樣，嘿。
(Physics is to math what sex is to masturbation.)
