● 泰勒公式是在局部，用一個多項式函式，近似地替代，一個復雜函式。這一點，大家多多少少都是了解的。下面我想說明，為什麽多項式函式可以近似替代復雜函式，以及泰勒公式展開的本質是什麽。
為了方便大家理解，我只用最簡單的「帶佩亞諾余項的麥克勞林公式」做範例。看完回答後，請大家務必參照本文思路，再親自對一般的泰勒公式進行分析，你就能徹徹底底地理解泰勒公式。
● 一般教科書把麥克勞林公式寫成以下形式：
初學者一看就懵了，這啥呀這是，只能死記硬背，覺得這個公式很不可愛。
但是，如果偷偷把展開式中的【階乘】換個位置，譬如這樣：
這個公式瞬間就變得和我一樣可愛。書本上的公式，僅僅是為了方便求各階冪函式前的系數；而調整階乘位置後的這個公示，才真正觸碰到了泰勒公式美麗的靈魂。
● 大家仔細想想，在泰勒展開式中，每一個冪函式（x²、x³…xⁿ）和與其搭配的階乘（2!、3！...n！）有什麽聯系。
大概沒想出來，但是如果我告訴你xⁿ的第n階導數是n！呢？
也就是說，x²的2階導數是2！，x³的3階導數是3！，這樣你能看出什麽嗎？
是的，你會發現，在x=0這一點，對泰勒展開式（多項式函式）求3階導數值，其結果為f'''(0)。
因為f(0)、f'(0)x、f''(0)x²/2，分別在1次求導、2次求導和3次求導中，求導成了0；
而之後的456更高階冪函式，在計算導數值時，需要代入x=0，其結果全部為0；
x³的3階導數是3！，和分母的3！約去，只剩下了f'''(0)這一項。
——多項式函式（泰勒展開式）的3階導數值，就是復雜函式f(x)的3階導數值。
同理，多項式函式的4階導數值，就是f(x)的 4階導數值；多項式函式的10086階導數值，就是f(x)的10086階導數值。
● 大家或許有那麽一點感覺了，為啥泰勒展開式都是由冪函陣列成。
這並非某些答案所說的「因為冪函式很簡單」，而是因為冪函式（x³）一旦與相應的階乘（3！）組合，就可以在對應階數（3階）求導後【消失】，只留下這一階的導數值（f'''(0)）。
在這種意義上，泰勒展開並不是唯一的，因為任何在對應階求導後能夠消失，並只留下導數值的函式，都可以作為泰勒展開的備胎。可惜的是，冪函式與階乘的組合，是我們已知的唯一具有上述性質的函式，因此，這種唯一性決定了泰勒展開能夠且僅能夠由冪函式表示。
● 總結：泰勒公式的靈魂是導數值，而非冪函式。在展開的這一點，泰勒展開式與復雜函式f(x)的每一階導數值都完全相等。而這種「各階導數值相等」，揭示了多項式函式和它想要替代的復雜函式f(x)在「每一個維度上完全相同」的奇妙的事實。
● 打個不精確的比方，在【某一時刻】，有一個法外狂徒張三（復雜函式f(x)），想讓李四（泰勒展開式）替代自己去上學。
在這一時刻，李四和張三的外貌相同（函式值相同），體型相同（1階導數值相同），聲音相同（2階導數值相同），那我們就可以認為，或許在這一刻，讓李四替代張三是比較合理的。如果在更深入的維度上，他們具有相同的智商（3階導數值相同），具有相同的記憶（4階導數值相同），那麽用李四替代張三就更合理了。如果他們具有相同的喜惡（5階導數值相同），具有相同的三觀（6階導數值相同），那麽用李四替代張三就越來越合理了。
這也是為什麽泰勒公式展開越多項，在展開這一點的附近，就越接近f(x)本身。
● 現在再看一眼公式，大家能【理所當然】地理解為啥泰勒公式能夠如此展開了嗎？
你在寫出展開式的時候，內心活動應該如下：
在x=0這一點，
① 他們的函式值相同，所以寫出第一項f(0)
② 他們的1階導數值相同，所以寫下f'(0)，要求求1階導的結果為f'(0)，那麽後面得添上x
③ 他們的2階導數值相同，所以寫下f''(0)，要求求2階導的結果為f''(0)，那麽後面得添上x²/2！
④ 他們的3階導數值相同，所以寫下f'''(0)，要求求3階導的結果為f'''(0)，那麽後面得添上x³/3！
……
⑤ 他們的n階導數值相同，所以寫下fⁿ(0)；要求求n階導的結果為fⁿ(0)，那麽後面得添上xⁿ/n！
——如果你能理解當中的本質，這是一個簡單到不需要記憶的公式對吧？
● 希望你們看完這個回答後能夠體會到，f(x)泰勒展開成怎樣的函式並不重要，重要的是，在進行了某階求導後，這個函式一切外在的軀殼都隨風而逝，只留下了在這個維度上和f(x)完全相同的事實。
