雖然是學控制的，雖然我的id名也跟控制相關，但我不喜歡復雜的公式推導。在遇到紛繁復雜的數學公式時，我也跟題主一樣，想搞明白這些數學表達背後的物理意義到底是什麽。想明白這些，再去看那些數學公式，會覺得非常合適，非常簡明，非常優美，必須這麽定義才能表達的這麽清晰。
在講零極點的物理意義之前，我們先討論下什麽是線性定常系統，我們平時遇到的大多數是線性定常系統，或者可以簡化為線性定常系統。
線性定常系統（Linear Time-Invariant System，簡稱LTI系統）是一類特殊的線性系統，它同時滿足線性（Linearity）和定常性（Time-Invariance）兩個條件。
1. 線性（Linearity）：對於任意兩個輸入訊號x1(t)和x2(t)，以及任意兩個常數a和b，系統的輸出滿足以下關系：
y(t) = a * x1(t) + b * x2(t)
這意味著，當輸入訊號進行線性組合時，系統的輸出也是對應訊號的線性組合。
2. 定常性（Time-Invariance）：如果系統的輸入訊號在時間上平移一個常數t0，那麽系統的輸出訊號也會在時間上平移相同的常數t0。換句話說，系統的響應與輸入訊號的起始時間無關。用數學表示為：
y(t - t0) = L[x(t - t0)]
其中，L表示系統對輸入訊號的作用。
線性定常系統的數學模型通常可以用線性常微分方程式（Ordinary Differential Equation, ODE）或線性差分方程式（Difference Equation）來表示。在頻域分析中，線性定常系統的特性可以用傳遞函式（Transfer Function）來描述，它表示了系統輸出與輸入之間的頻率響應關系。
一個線性定常系統傳遞函式可以表示為:
線性定常系統具有許多良好的性質，如疊加原理、穩定性、可控性和可觀測性等。這些性質使得線性定常系統在理論分析和實際套用中具有很高的價值。許多工程問題，如電機控制、電路分析、訊號處理、控制系統設計等，都可以歸結為線性定常系統的分析和設計問題。
我們再舉個栗子，理解下線性定常系統的兩個特性–線性和定常性:
一個和尚念經，用x1(t)表示；我們聽到的梵音用y(t) 表示。整個場景定義為:y0(t)=x1(t)。方丈來視察，和尚加大a倍音量念經，則我們聽到的梵音音量變大了a倍， 則 y1(t) = a * x1(t) ，體現了"線性"特點；
這時又來了一個和尚也大聲念經，則我們另一只耳朵又聽到y2(t) = b* x2(t)，我聽到的梵音總和是y(t)=y1(t)+y2(t)，體現了"疊加"特點。
所以聽經文是個線性系統。
另外，我早上聽，就早一點心靈得到凈化，早一點有所頓悟；晚上聽，就會有一天的延遲(t - t0)，用數學表達一下:y(t - t0) = L[x(t - t0)]，L表示我不一定都聽懂了，經文在傳輸過程中有所衰減。體現了"定常"特點。
所以聽經文是個線性–定常系統。
根據以上討論，可以推匯出線性定常系統以下特點:
系統輸入一個正弦波激勵時，輸出也是正弦波，頻率不變，幅值發生變化，相位有一定延遲。
控制系統中的零極點物理意義在於：
1. **零點**： 零點表示系統在某一特定頻率處對輸入訊號的響應為零。在該特定頻率處，輸入訊號幅值不為零，系統輸出為零。零點處的頻率通常對應於系統的反諧振點或濾波器的通帶截止頻率。
接著用上面的栗子，當誦經頻率上升到20kHz或者低於20Hz時，你即使站在僧人旁邊，也聽不到他的聲音。所以可以推斷，人聽覺系統的零點是20Hz和20kHz。
2. **極點**： 系統輸入振幅不為零，而系統輸出為無窮大（系統穩定破壞，發生振蕩），此頻率值即為極點。極點表示系統在該特定頻率處對輸入訊號的響應達到最大，通常對應於系統的固有頻率或濾波器的阻帶截止頻率。
繼續用上面的栗子，當誦文頻率正好處於聽覺系統的固有頻率時，你即使與僧人遠隔千山萬水，處於無限遠處，也可以聽的清清楚楚。這就是失傳多年的武功秘籍"千裏傳音"的理論依據，233。
我們再看看零極點的數學描述:
講線性定常系統傳遞函式:
寫成零極點形式為:
零點是使H(s)幅值為零的點，若且唯若分子項N(s)為零時，H(s)=0，即:
極點是使H(s)幅值為無窮大的點，若且唯若分母項D(s)為零時，H(s)=∞，即:
有沒有感覺這些公式看起來舒服多了，簡潔、準確，不用像我一樣，絮絮叨叨那麽多。
