前集回顧
話說上期，我們聊到了，如何在現實世界中，通俗地理解「傅立葉變換」、「拉普拉斯變換」和「Z變換」的奧妙。為加深印象，咱在開啟本篇的話題之前，再做個前集回顧：
在上篇文章【幹貨周記：三分鐘弄懂零極點圖（上）（番外篇2）】中：我們搞懂了，「傅立葉變換」和「歐拉公式」這對組合，能完美地把時域訊號，對映到了頻域，從而讓咱能多了個視角去觀察世界。
但大千世界，無奇不有，有些訊號吧，它不可積，也不穩定，如果要分析它們，那「傅立葉」的法力就不夠用了，咱得用帶「衰減因子」的「拉普拉斯變換」穩住局面。
同時，咱也清楚了：為啥「傅立葉變換」只是「拉氏變換」的一個切片，為啥「Z變換」只是疊了層「甲」的「拉普拉斯變換」。有了這些基礎，咱在上期的結尾部份，終於引出了S域和Z域的零極點圖。
下面，咱盡量簡化，不講太細，直接把幹貨濃縮成「作業指導書」，捧起來就知道該怎麽用。話不多說，上幹貨。
啥是零極點圖？
看到下面兩幅零極點圖，你可能會想：這玩意兒也太抽象了吧，它真能幫咱分析系統特性嗎？別急，咱一步步來。
那啥是零極點圖呢？它本質上就是 「拉氏變換」和「Z變換」等的系統特性表示圖。 基於它，你可以透過現象看本質，一眼洞穿其系統特性。聽著挺玄乎，其實也沒啥神秘的，看完這篇文章，你就明白咋回事了。
咱先回憶下，「 傅立葉變換」的系統特性表示圖是什麽？ 是 波特圖 （即幅頻圖和相頻圖），當看到下左圖時，你很快就能認出，這是個低通濾波器系統，因為其對高頻部份有衰減，甚至哪裏可能有個極點，你都能一目了然。
如果說「傅立葉變換」的系統特性表示圖，是2D的波特圖，那多加了一維的「拉氏變換」和「Z變換」的系統表示圖，理套用3D圖來表示。但以S域零極點圖（ 下右圖 ）為例，其本質也就是 下左圖 的俯檢視，振幅的凸凹（即極點和零點），分別用 x 和 o 表示。看上去還是2D的，不夠炫酷。
這主要是因為，早期的前輩們，受限於當年的電腦效能，無法隨心所欲地做仿真/建模，更不好在紙上呈現3D，不得已才祭出了「零極點圖」這種近似分析工具。
說到這，「零極點圖」似乎還有點復古風，我更喜歡稱之為2.5D圖。
類似的表現手法，在STFT或小波變換上也有所體現，區別只是去掉了「衰減因子」維度，引入了「衰減因子」維度，把用「零極點」表示振幅變化趨勢，改成了用「色彩強弱」表示振幅。
看清「零極點圖」真面目
說到「零極點圖」，我們要先搞清楚是哪個域的圖。「S域」（拉普拉斯域），還是「Z域」？一般而言，模擬系統分析和濾波器設計，常在S域做分析；而數位系統與濾波器設計，則常在Z域做分析。
另外，零極點圖中，無論S域還是Z域，X都代表極點，也是振幅凸點。O都代表零點，也是振幅凹點。這種表達方式，和高中物理中的磁感線方向的呈現手法，有些類似。
S域「零極點圖」分析的核心：
一、橫軸代表衰減程度（左側有衰減，更安全），縱軸代表頻率，一般僅關註上半軸/正頻率，原點為f=0處，Y軸向上是f=+∞方向，可基於此看頻響特性。
二、極點會造成振幅凸點（Peak），零點會造成振幅凹點(Notch)。無論零點還是極點，離橫軸原點越近，其影響力就越大。
三、圖上的每一個點（σ+jω），都代表了該系統在對應頻點上的分布，以及其對應的衰減特征。
四、當極點落在σ=0的虛軸上時，系統臨界穩定。極點落在左半平面時，系統穩定，極點飄到右半平面時，系統不穩定，會自激、會嘯叫。
舉例： 下圖中，在w=0處有兩個極點凸起，很顯然，這是一個二階LPF低通濾波器，綜合滾降斜率為-40dB/Dec
同樣的，不難得出以下結論：
這是個一階高通濾波器HPF。雖然在ω=0處有極點也有零點，但離原點近的影響力更大，其主導作用，所以在這裏ω=0（DC）時，零點贏了，故在右面的幅頻圖中f=0處振幅也為0，很明顯的HPF。
類似的，下面的零極點圖，表示的是個帶通BPF。正軸極點對應的ω值，也對應了右面頻點的凸起位置。
Z域「零極點圖」分析的核心：
一、Z域零極點圖，是極座標形式。離單位圓的距離代表衰減程度（單位圓內有衰減，更安全），旋轉角度可代表頻率（φ=0時為DC，φ=π時，ω=fs/2，即待分析訊號的奈奎斯特頻寬）。通常分析時，只需看第一第二象限（φ=0~π）
二、極點會造成振幅凸點（Peak），零點會造成振幅凹點(Notch)。無論零點還是極點，離單位圓原點越近，其影響力就越大。
三、圖上的每一個點Re(z)+Im(z)，都代表了該系統在對應頻點上的分布，以及其對應的衰減特征。頻點資訊可根據角度資訊解析得出。
四、當極點落在單位圓上時，系統臨界穩定。極點落在單位圓內，系統穩定，極點飄到單位圓外，系統不穩定，會自激、會嘯叫。很多時候設計時，需要留有足夠的裕量，否則可能會導致極點飄到單位圓外。（如ANC系統的次級路徑變化時，可能會導致系統自激振蕩）
無論S域還是Z域，一句話小結： 本質上就是在系統中，透過設計零極點個數，及其擺放位置，使得系統達到目標特性。 舉例：ANC系統，透過測量和理論計算，可以得到前饋系統的目標傳函，工程師們可透過在Z平面上，擺放設計好的零極點，從而達到目標特性。
然而，「零極點圖」有優點也有缺點，它並非人見人愛。
優點： 簡單、直觀，快。透過「零極點圖」這個視覺化平台，設計者可直觀地分析出系統的頻響特性，快速分辨系統穩定性，而不需要繁瑣的計算。舉例：在用「零極點圖」設計濾波器時，工程師直接就開啟了「上帝視角」，透過調整零極點位置的擺放，就能靈活地改變系統特性。
三個缺點 ：
一、線性時不變的枷鎖。「零極點圖」主要適用於」線性時不變「系統分析，而對」時變系統「無能為力。
二、精度有限。無法提供精確的振幅資訊，也不能精確得到幅頻和相頻響應的具體曲線形狀。
三、對超高階系統，可讀性會下降。很難想象，面對一大堆零極點密密麻麻的分布圖，腦子裏原始洞察力，會何去何從。
總之，零極點圖是個高效直觀的系統分析工具，但它也有自身的局限性，對復雜系統或需精確資訊的場合，結合其他「武器」使用，效果最佳。
最後，咱再留個思考題：上述只是針對幅頻做了分析， 那相頻呢？ 零極點的影響又當如何分析，相位裕度該怎麽把握，如何擺放零點，能把不穩定系統，補償為穩定系統？歡迎私信/留言。
End
Roy個人觀點，僅供參考。
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