搞非線性的試著答一波...這是非線性控制方法論vs頻域方法論的大順風局，是說明非線性方法論可提供更深刻直覺的絕佳領域，看了看沒人推那我一定要試著推一推。什麽是極點？什麽是零點？左右半平面零極點到底意味著啥？為什麽要求系統最小相位？相信學本科控制系統的朋友都痛苦過
這時候頻域老哥就會說了，極點往下拐，零點往上拐，最小相系統可以畫出唯一bode圖..（這還是我碩士入學面試題…）簡直比抽象更抽象。在頻域裏來回浸潤的同誌對著bode圖可以一頓「直觀理解」，很容易忘記這一切都是馴化的觀點，所謂的直觀也只是在所構建工具之上的直觀，僅限於線性+SISO，不容易跟真實物件建立物理對應，所獲得的直覺性觀點也少之又少。真做了工程師，站在真實系統面前也只知道掃個頻看個頻譜...誠然電力電子/通訊領域，頻域的故事講得很漂亮，但電氣化的大航海時代早就結束了，現在是造高達的時代，更廣闊的控制領域，不敢說頻域害人不淺，也只能說過於rookie level了。
實際上就是害人不淺，你可以聽到很多高精尖領域裏的人聲稱還是用頻域這一套，有的時候團隊帶頭人是懂非線性的，他只是照顧成員用老一套來講故事罷了…（當然不排除有些高精尖領域高精尖在裝備上而不是演算法上，用線性SISO就夠了。）為了跟行內人士打交道，學校不得不教，學生不得不學，學完了已經對進階的東西毫無興趣了..實際上所謂進階的東西一開始就學也不會有什麽問題。國內高校懂的人也不太多，做控制的海龜又難拿教職，這何嘗不是一種新式技術封鎖？其實這事兒跳出線性SISO系統可能反而更直觀，否則能舉的例子太少了。如果說整個大系統是由一堆小系統互聯的，每個小系統都有自己的動態（或說狀態/微分方程式因變量），那麽：
這裏和可觀性有緊密關聯。測不到的動態就是觀測及其導數的核空間，線性情況下就是observability Gramian，非線性下會復雜很多，不過道理相通，我們可以線上性MIMO下建立insight：
你會發現壓根就沒有所謂的「零點過程」、「極點過程」，系統就在那裏，都是ODE的特征值，一個動態對應零點還是極點取決於視角。本科的時候納悶既然零/極點會確定性地對應bode圖，那應該對應著不同的物理過程。為什麽閉環以後零點沒變，但又會翻到分母上改變極點？進而改變所謂的特征方程式？大部份課程都會告訴你特征方程式決定系統效能，但他不會告訴你這實際上是一種妥協..研究它是因為這是輸出真正能測的部份，零點對應的動態我們壓根測不到，只能期望它是漸進穩定的（即頻域法的大前提，也是缺陷之一——最小相位）
拿搖晃酒杯舉例，視手上施的力為輸入，酒杯位移為輸出，可用輸出及其導數測得的是酒杯位移/速度/加速度，這些動態對應著極點（一個二階系統）；但是酒的狀態不能透過輸出測得，就對應著零點了。如果你一定建立成傳遞函式，會發現它有左半平面的零點，這是因為水的波動是耗散、漸進穩定的。
酒杯位移作為輸出往往不是選擇，而是不得不接受的事實..比如領導讓你用工業機械臂拿水杯，沖咖啡什麽的。控制杯子位移精準很簡單，反饋+高增益控制就可以；但要保證酒不灑出來，就要對輸入及其導數進行限幅，對應的是小增益控制/飽和控制。
前面說零/極點取決於視角，怎麽理解呢？
機械臂的力還是輸入，但加了一個網路攝影機，這樣輸出就變成杯子和水的位移了，杯子+水就變成了串聯品質，此時系統沒有「零點」，只不過變成了SIMO系統，不能用傳遞函式理解。線性化從狀態空間看的話，系統一直都是四個特征值，只不過從兩個不可觀/兩個可觀變成了全都可觀。
另外，我們說的「輸出」是指我們最關心的指標、最想跟蹤的軌跡，並不一定非得是可測得的量，特別是跟蹤問題，有一個因果關系在。比如藤原拓海運豆腐，如果他只關註跑的安全跑得快，那豆腐就是零點；如果他一邊看著車一邊用屁股測力關心著豆腐，那車和豆腐都是極點，但是車輛動態會影響豆腐的平衡點，沒法提前規劃。另外，即使用內模觀點構造成一個誤差鎮定問題，那也成兩個模型兩個insight了；但事實上我們想要一個模型好多insight——既然目的是汽車安全下山，同時鎮定豆腐在汽車狀態決定的平衡點附近（並不能提前求得），我們需要透過把汽車軌跡設為輸出來說明：僅做輸出反饋是不夠的，用屁股做個狀態反饋吧。再聊一個作者領域的例子——液壓機械臂軌跡跟蹤，液壓油可壓縮會產生不小的形變（也對應不同的壓力），這顯然是個零點，因為你並不能確定位移是泵入液壓油導致的還是壓縮導致的；但我們的目的是跟蹤位置軌跡而不是跟蹤壓力軌跡，即便加壓力傳感器，也不能把壓力視為「系統輸出」。這是一個常見錯誤。
延伸出來，零/極點可以舉出特別特別多的現例項子。極點沒太有必要舉，因為只要能測它都可以對應極點...nontrivial的東西是零點。零點在非線性控制裏叫zero dynamics，即零動態。沒有零動態/零點的性質在非線性裏叫平坦性，是一類可以直接高增益壓住的系統。而包含零動態的系統有：
再舉幾個身邊的例子：
讀者可能已經意識到，首先零極點精確對消是件多麽荒唐的事，它只是因為頻域沒有對應響應而把對應物理物件都刪掉了，但是老師除了說「這樣不魯棒」之外，幾乎不會跟你講清楚為什麽（比如大樓的風阻尼器就是零極點對消，但有用不代表真的可以消掉，把樓當剛體怎麽算阻尼器發熱？）。在看了以上例子之後，讀者也能發現零動態穩定性決定了系統能不能鎮定，直接說結論：
零動態的故事大概就是這樣了，相信你也理解了極點和零點是什麽。如果讀者學完了線性控制、多少接觸過非線性，一定聽說過Isidori老爺子，老爺子關註的topic之一就是零動態（根據上面的舉例，讀者應該不會低估這個方向的潛力吧），提出了isidori標準型，清清楚楚地分離出了零動態；用他自己的話說是「a long，painful but eventually successful story」 [2] 。回頭再看老爺子的書，你也許就理解系統分解為什麽如此重要；而如果你多少知道一點Lie理論，也就能明白為什麽要用幾何觀點：系統分解的必要步驟-非線性換元法（座標變換）是要用到微分幾何的；哪有什麽高處不勝寒，一切的努力都是希望我們看到系統的數學形式時，就像看到「自由車把上掛個購物袋」一樣那麽直觀——用正確的語言講故事是多麽重要。也許你也能理解當這一切都用正確的語言講明白之後，大佬們攀上高峰的空虛，以及為什麽「control is dead」是一句充滿驕傲的宣言。
但作為學生又能怎麽辦呢？頻域還是要學的。畢竟考研/保研面試要考啊。
參考
- ^ Kalman, Rudolf Emil. "Mathematical description of linear dynamical systems." Journal of the Society for Industrial and Applied Mathematics, Series A: Control 1.2 (1963): 152-192. https://epubs.siam.org/doi/abs/10.1137/0301010
- ^ isidori talk, 2017 https://www.youtube.com/watch?v=zcvnVCH7IcY&t=2593s
