● 泰勒公式是在局部，用一个多项式函数，近似地替代，一个复杂函数。这一点，大家多多少少都是了解的。下面我想说明，为什么多项式函数可以近似替代复杂函数，以及泰勒公式展开的本质是什么。
为了方便大家理解，我只用最简单的「带佩亚诺余项的麦克劳林公式」做范例。看完回答后，请大家务必参照本文思路，再亲自对一般的泰勒公式进行分析，你就能彻彻底底地理解泰勒公式。
● 一般教科书把麦克劳林公式写成以下形式：
初学者一看就懵了，这啥呀这是，只能死记硬背，觉得这个公式很不可爱。
但是，如果偷偷把展开式中的【阶乘】换个位置，譬如这样：
这个公式瞬间就变得和我一样可爱。书本上的公式，仅仅是为了方便求各阶幂函数前的系数；而调整阶乘位置后的这个公示，才真正触碰到了泰勒公式美丽的灵魂。
● 大家仔细想想，在泰勒展开式中，每一个幂函数（x²、x³…xⁿ）和与其搭配的阶乘（2!、3！...n！）有什么联系。
大概没想出来，但是如果我告诉你xⁿ的第n阶导数是n！呢？
也就是说，x²的2阶导数是2！，x³的3阶导数是3！，这样你能看出什么吗？
是的，你会发现，在x=0这一点，对泰勒展开式（多项式函数）求3阶导数值，其结果为f'''(0)。
因为f(0)、f'(0)x、f''(0)x²/2，分别在1次求导、2次求导和3次求导中，求导成了0；
而之后的456更高阶幂函数，在计算导数值时，需要代入x=0，其结果全部为0；
x³的3阶导数是3！，和分母的3！约去，只剩下了f'''(0)这一项。
——多项式函数（泰勒展开式）的3阶导数值，就是复杂函数f(x)的3阶导数值。
同理，多项式函数的4阶导数值，就是f(x)的 4阶导数值；多项式函数的10086阶导数值，就是f(x)的10086阶导数值。
● 大家或许有那么一点感觉了，为啥泰勒展开式都是由幂函数组成。
这并非某些答案所说的「因为幂函数很简单」，而是因为幂函数（x³）一旦与相应的阶乘（3！）组合，就可以在对应阶数（3阶）求导后【消失】，只留下这一阶的导数值（f'''(0)）。
在这种意义上，泰勒展开并不是唯一的，因为任何在对应阶求导后能够消失，并只留下导数值的函数，都可以作为泰勒展开的备胎。可惜的是，幂函数与阶乘的组合，是我们已知的唯一具有上述性质的函数，因此，这种唯一性决定了泰勒展开能够且仅能够由幂函数表示。
● 总结：泰勒公式的灵魂是导数值，而非幂函数。在展开的这一点，泰勒展开式与复杂函数f(x)的每一阶导数值都完全相等。而这种「各阶导数值相等」，揭示了多项式函数和它想要替代的复杂函数f(x)在「每一个维度上完全相同」的奇妙的事实。
● 打个不精确的比方，在【某一时刻】，有一个法外狂徒张三（复杂函数f(x)），想让李四（泰勒展开式）替代自己去上学。
在这一时刻，李四和张三的外貌相同（函数值相同），体型相同（1阶导数值相同），声音相同（2阶导数值相同），那我们就可以认为，或许在这一刻，让李四替代张三是比较合理的。如果在更深入的维度上，他们具有相同的智商（3阶导数值相同），具有相同的记忆（4阶导数值相同），那么用李四替代张三就更合理了。如果他们具有相同的喜恶（5阶导数值相同），具有相同的三观（6阶导数值相同），那么用李四替代张三就越来越合理了。
这也是为什么泰勒公式展开越多项，在展开这一点的附近，就越接近f(x)本身。
● 现在再看一眼公式，大家能【理所当然】地理解为啥泰勒公式能够如此展开了吗？
你在写出展开式的时候，内心活动应该如下：
在x=0这一点，
① 他们的函数值相同，所以写出第一项f(0)
② 他们的1阶导数值相同，所以写下f'(0)，要求求1阶导的结果为f'(0)，那么后面得添上x
③ 他们的2阶导数值相同，所以写下f''(0)，要求求2阶导的结果为f''(0)，那么后面得添上x²/2！
④ 他们的3阶导数值相同，所以写下f'''(0)，要求求3阶导的结果为f'''(0)，那么后面得添上x³/3！
……
⑤ 他们的n阶导数值相同，所以写下fⁿ(0)；要求求n阶导的结果为fⁿ(0)，那么后面得添上xⁿ/n！
——如果你能理解当中的本质，这是一个简单到不需要记忆的公式对吧？
● 希望你们看完这个回答后能够体会到，f(x)泰勒展开成怎样的函数并不重要，重要的是，在进行了某阶求导后，这个函数一切外在的躯壳都随风而逝，只留下了在这个维度上和f(x)完全相同的事实。
