這個問題等價於，任意給出兩個正整數 i,j，問這個數互質的機率。（另外三個象限的情況是完全意一樣的）我們設這個機率為p，那麽這兩個數不互質的機率也就是1-p
兩個不互質的正整數，他們一定有一個大於1的最大公因數，所以： 1-p=\sum_{k=2}^{\infty}p(k)
其中p(k)是這兩個正整數的最大公因數為k的機率，它等於這兩個正整數均為k的倍數的機率乘以它們除以k的商互質的機率，即為 \frac{1}{k^{2}}p ,因此： 1-p=\sum_{k=2}^{\infty}\frac{1}{k^{2}}p
整理一下： 1=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{2}}p=\frac{\pi^{2}}{6}p
故： p=\frac{6}{\pi^{2}}
