這個問題現在有兩種相互矛盾的答案： 6/\pi^2 和 0。
6/\pi^2 應該是本題的「標準答案」，它有許多種並不容易的計算方法，此處不再贅述。但是，所有這些方法都依賴於這樣一個假設：要求黑棋在整個無窮大平面上的比例，可以先在有限的範圍（通常是以原點為中心的正方形）內統計，然後取範圍趨於無窮大時的極限。
而 0 則是這樣得出的：任取一條從原點出發、斜率為有理數的射線，它會經過無窮顆棋子，其中第一顆是黑棋，此後都是白棋，於是這條射線上黑棋的比例為 0。既然任意一條射線上黑棋的比例都是 0，那麽整個平面上黑棋的比例當然也是 0。
為什麽會出現這樣的矛盾呢？
其實，這個矛盾的背後是一個更一般的問題： 如何定義一個無窮集合 S 的一個子集 A 在 S 中的比例？
我們來看一個更簡單的例題：在正整數中，奇數所占的比例是多少？
你一定說是 1/2，對不對？然而我用如下的方法，可以算出 0：
把正整數集合 S 劃分成如下集合的聯集：
