首先， \sqrt a \cdot \sqrt b 與 \sqrt{a\cdot b} 表示兩種不同的運算過程。我們可以從式子的結構很容易看出：前者有三個運算子號，表示 先分別開方，再相乘 ；後者有兩個運算子號，表示 先相乘，再開方 。
① 若 a<0 ，且 b<0 ，
由於 a\cdot b>0 ，進而 \sqrt {a \cdot b} 為正實數。
而 \sqrt a=|a|\rm i 、 \sqrt b=|b| \rm i 都為純虛數。於是，二者相乘，會在 |a||b| 之上多出一個 \rm i^2 ，故 \sqrt a \cdot \sqrt b 為負實數。
\rm \sqrt{-3} \cdot \sqrt{-5}=\sqrt 3 i \cdot \sqrt 5i =\sqrt 3\cdot \sqrt 5i^2 =- \sqrt{15} ，
\sqrt{(-3)\cdot(-5)}=\sqrt{15} 。
因此， \sqrt{-3}\cdot \sqrt{-5}\ne \sqrt{(-3)\cdot (-5)} 。
② \sqrt a \cdot \sqrt b = \sqrt{a\cdot b} 的充分條件是 a\ge 0 ， b\ge 0 。
我們知道，正數有兩個平方根，且互為相反數。然而，為了確保一個式子只對應一個數，習慣上只把正的平方根用根號表示。否則，求解具體問題時，我們既無法區分 1+\sqrt 5 與 1-\sqrt 5 ，也無法簡要地表示哪個值需要舍掉。
換言之，只有當 a\ge 0 時，才能保證 (\sqrt a)^2=\sqrt{a^2}=a 。否則，要麽差一個負號，要麽差一個虛數單位。
於是，當 a\ge 0 ， b\ge 0 時，以下的推導過程才能保證成立。
\begin{split} \sqrt {a} \cdot \sqrt{b} \ & =\sqrt{(\sqrt {a} \cdot \sqrt{b})^2} \\ & =\sqrt{(\sqrt {a})^2 \cdot (\sqrt{b})^2} \\ & =\sqrt{a \cdot b} . \end{split}
