这个嘛，完全可以写的更大胆一些，不光所有正数，其实定义好什么是开方运算后，这个结论对于对于所有非零复数也是成立的。
如果有高三的数学基础的话，就可以知道复数可以写成模乘以一个相位，也就是 z=r \mathrm e^{i\theta}, r>0,\theta\in[0,2\pi) ，例如，复数 z = 3+4i=5\mathrm e^{i \arctan(4/3)}
那么定义 z 的开方为 \sqrt z = \sqrt r \mathrm{e}^{i \theta/2} （注意其实 -\sqrt z 也是满足开方运算的，但是和实数里的运算一样，我们将这个解舍弃）。
基于此定义，如果不断地进行开方操作，便有
\lim_{n\rightarrow +\infty} z^{1/2^n} =\lim_{n\rightarrow +\infty} r^{1/2^n}\mathrm e^{i\theta/2^n} = 1
如果把复数的模 r 也写成指数部分，很容易就可以看出，不断地开方就是指数不断地趋于0，最后得到的极限当然就是1了。
我觉得该结论应该还可以推广到汉密尔顿的四元数。
不仅如此，在矩阵里面也有类似的结论，对于一个满秩对称矩阵 A 而言，不断地对 A 进行开方运算，最后得到极限是一个单位矩阵。如果稍微知道一点矩阵正交分解的知识，也能发现这个结论也是显而易见的，由于A是对称的，所以可以写成
A=P'\Lambda P
的形式，其中 P 是正交矩阵， P' 表示 P 的转置（也是P的逆矩阵）， \Lambda 是对角矩阵且每个元素都是正数，对角线上的元素为 \{\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n\} ，
对 A 的不断开方其实就是对\Lambda 不断开方，\Lambda 对角线上的所有元素最后趋于1，于是A变趋于单位矩阵了。这里满秩的限定就是保证\Lambda 的对角线上没有零。该结论其实对于更广泛的一类结论都成立，只要求满秩矩阵 A 是正规矩阵就行了，即A满足 A^H A=AA^H ，上标H指共轭转置。
最后偏个题，可能会有人问你为什么写了这么多呢，原因是我在回答
问题时，想到之所以会有人会困惑虚数i存在与否的根源还是因为不够了解定义这个数的用途，虽然有了高中基础便能够大概知道复数的定义，但是不明白其实际意义。大一时就学习了矩阵，但是也不知道其意义在哪里，只不过由于受众相对较少，没什么人在知乎上问矩阵是否存在。不论整数、复数、四元数、矩阵，都可以看做是数学家定义出来描述一类规律的工具，并且为了更好的认识大自然，不断地修修补补，进行扩充。仔细想想，矩阵和正数之间也并没有那么大的差距，所以干脆多写一些了。
