计算陈数和贝里曲率是凝聚态拓扑中绕不开的问题（有 non-trivial winding number?)，该技术活有很多细节，导致包括我自己在内的许多初学者望而却步。问导师他也是甩给我05年那篇「日本人写的JPS」（https:// doi.org/10.1143/JPSJ.74 .1674 ），叫我自己把玩，奈何领悟能力实在太差，遂而弃之食土，再加上日常虚度时光，每每想起只无能狂怒尔。时过境迁，最近在看了关济寰老师的BLOG后忽觉摸到了陈数计算的门槛，遂写下这篇小笔记疗以自慰。
对于一个二维周期性晶格，布里渊区是一Torus，其第n条带的陈数可以看作广义的「磁通量」：
\begin{align} C_{n}=\frac{1}{2\pi i}\int_{T^{2}} d^{2}k \space F(k) \tag{1} \end{align}\\
其中 \begin{align} F \end{align} 叫做Berry curvature，贝里曲率，可简单地当作「磁场」来理解，从而可以定义一个「矢势」 A_{\mu}\left(k\right),(\mu=1,2) ，满足 \begin{align} F\left(k\right)=\nabla \times \vec{A}=\partial_{1}A_{2}\left(k\right)-\partial_{2}A_{1}\left(k\right) \end{align} 。根据量子力学，该「失势」正是Berry connection：
\begin{align} A_{\mu}=\langle n\left(k\right) | \partial_{\mu} | n(k) \rangle \tag{2} \end{align}\\
\begin{align} |n(k)\rangle \end{align} 是第n条带的Bloch哈密顿本征方程的本征矢，满足 \begin{align} H(k)| n(k)\rangle = E_{n}(k) | n(k) \rangle \tag{3} \end{align}\\ 因此在给定Bloch哈密顿 \begin{align} H_{k} \end{align} 后，若想计算某条带的陈数，一个直白的思路是：先将布里渊区离散化取点，用for循环对每个倒空间格点求解一组本征方程(3)，将求得的波函数做两个方向的数值差分（数值求导）后再与自身作内积，即(2)；Berry curvaure也是通过对(2)的有限差分得到，由于Berry curvature涉及到 A_{\mu} 在 \nu 方向的偏移( \mu \neq \nu )，所以需要涉及到 (k_{x},k_{y}) 附近的四个点。(1)最终求得陈数的过程就是将积分变为求和。由于积分区域遍及个布里渊区，所以要对每次循环的 (k_{x},k_{y}) 作累加。
但是这样的操作会遇到所谓的规范问题或者随机相位问题，什么意思呢？就是在对本征函数做数值求导时，我们需要两个本征波函数 \begin{align} f(k) \end{align} 和 \begin{align} f(k+\delta k) \end{align} 做减法，也就是说要求解两次本征方程，那么问题是，虽然两次求解的本征函数虽然模方十分接近，都是本征解，但matlab在两次调用eig函数时选的规范不同，从而做减法（差分）时就会出现巨大差别，导致结果不收敛。用公式表达就是这个意思：
\begin{align} | n(k) \rangle \rightarrow e^{-i \lambda (k)} | n(k) \rangle, \space A_{\mu}(k) \rightarrow A_{\mu}(k)-i \partial_{\mu} \lambda (k) \tag{4} \end{align}\\
为了解决这一问题需要加入寻找波函数统一规范的步骤，具体内容可见关济寰老师的Blog：陈数Chern number的计算（定义法）（附Python、Matlab代码） - Ji-Huan Guan (guanjihuan.com)
这里直奔主题，采用「日式高效法」，利用采取U(1) link的方案来避免随机相位的干扰，也就是原文的精华部分：
质量项石墨烯的Berry curvature伪码：
%四个点的波函数
V
=
getvec
(
HG
(
kx
(
ii
)
,
ky
(
jj
)));
Vkx
=
getvec
(
HG
(
kx
(
ii
)
+
delta
,
ky
