在【群论】从洛伦兹变换到洛伦兹群中，我们直观的感受到了洛伦兹群和它对应的李代数，不过当时我们可能不知道得到的结果有什么用处，或者它有什么意义。在补充了【群论】物理人的李群和李代数中的数学知识之后（ 当然，没学过这部分数学也没什么，有点基本概念就行，我初学的时候李代数和李群都分不清也能学的开心又快乐 ），我们可以进行更为深入的探讨了。
抽象总是从具体的现实中产生的...你总得从某件事物出发， 最后才能把所有现实的痕迹抹除掉。 — Pablo Picasso首先要问，什么是洛伦兹群？一个群，首先是个集合，其次要有群乘法。之前的文章中给出过几个矩阵：
R_x=1\oplus\begin{pmatrix}1&0&0\\0&\cos\theta_x&-\sin\theta_x\\0&\sin\theta_x&\cos\theta_x\end{pmatrix} \\ R_y=1\oplus\begin{pmatrix}\cos\theta_y&0&\sin\theta_y\\0&1&0\\-\sin\theta_y&0&\cos\theta_y\end{pmatrix} \\ R_z=1\oplus\begin{pmatrix} \cos\theta_z&-\sin\theta_z&0\\ \sin\theta_z&\cos\theta_z&0\\ 0&0&1 \end{pmatrix} \\ \begin{align*} \Lambda_x(\phi_x)=\begin{pmatrix}\cosh(\phi_x)&\sinh(\phi_x)&0&0\\\sinh(\phi_x)&\cosh(\phi_x)&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{pmatrix}\\ \end{align*}\\ \\ \begin{align*} \Lambda_y(\phi_y)=\begin{pmatrix}\cosh(\phi_y)&0&\sinh(\phi_y)&0\\0&1&0&0\\\sinh(\phi_y)&0&\cosh(\phi_y)&0\\0&0&0&1\\\end{pmatrix}\\ \end{align*}\\ \\ \begin{align*} \Lambda_z(\phi_z)=\begin{pmatrix}\cosh(\phi_z)&0&0&\sinh(\phi_z)\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\\sinh(\phi_z)&0&0&\cosh(\phi_z)\\\end{pmatrix}\\ \end{align*}\\ \\
它们自然构成一个集合，这个集合中所有元素还能保度规（等价于保长度）。现在问，这个集合可以构成群吗？取矩阵乘法为群乘法，它们要是能构成群那真是见了鬼了，封闭性都不满足好伐。
不过这也不是什么大问题，直接把这个集合拓宽就好了。容易验证（ 证明见 常见李群及李代数），两个保度规的4\times 4 实矩阵（\Lambda^Tg\Lambda=g ）相乘以后还是保度规的（封闭性），以及保度规的矩阵一定可逆（存在逆元），正常人都会猜这个集合是全体保度规的4\times 4 实矩阵。而且非常好的是，它还能构成一个群（试证之），并且是个李群（可以代入李群定义体会一下）。
然而，坏消息是，\det(\Lambda^Tg\Lambda)=\det g 告诉我们，\det \Lambda=\pm1 。而前面那六类矩阵，很遗憾，行列式均为1，它们再怎么相互乘来乘去，行列式仍然为1。
另外，考虑矩阵等式\Lambda^Tg\Lambda=g 的第一行第一列的分量等式（按照约定，或许称之为第0行0列较为合适）：
(\Lambda^T)_0^{\ 0}g_{00}\Lambda^0_{\ 0}+(\Lambda^T)_0^{\ 1}g_{11}\Lambda^1_{\ 0}+(\Lambda^T)_0^{\ 2}g_{22}\Lambda^2_{\ 0}+(\Lambda^T)_0^{\ 3}g_{33}\Lambda^3_{\ 0}=g_{00}
即-(\Lambda^T)_0^{\ 0}\Lambda^0_{\ 0}+(\Lambda^T)_0^{\ 1}\Lambda^1_{\ 0}+(\Lambda^T)_0^{\ 2}\Lambda^2_{\ 0}+(\Lambda^T)_0^{\ 3}\Lambda^3_{\ 0}=-1
又由于(\Lambda^T)^{\ \mu}_\nu=\Lambda^{\mu}_{\ \nu} （转置矩阵的第\nu 行第\mu 列，显然等于原矩阵的第\mu 行第\nu 列）
所以1+\sum\limits_{i=1}^3(\Lambda^i_{\ 0})^2=(\Lambda^0_{\ 0})^2 ，这使得\Lambda^0_{\ 0} 或大于等于1，或小于等于-1。
而之前的六类矩阵，它们的第0行第0列矩阵元均大于等于1，容易验证，它们的乘积也必然满足这一点。
可见，单靠它们，是无法生成全体保度规的4\times 4 矩阵的。但是在加上\Lambda_P= \begin{pmatrix} 1&0&0&0\\ 0&-1&0&0\\ 0&0&-1&0\\ 0&0&0&-1 \end{pmatrix} 和\Lambda_T= \begin{pmatrix} -1&0&0&0\\ 0&1&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1 \end{pmatrix} 以后，这个问题就迎刃而解了。
总结来说，全体保度规的4\times 4 实矩阵构成的集合，有四个分支，其中一个分支是由那六类矩阵通过矩阵乘法生成的一个集合，这个集合构成一个群（试证之），并且是个李群。暂且记为O_+^{\uparrow}(1,3) ，之后会解释这个符号的用意。
另外几个分支，均是O_+^{\uparrow}(1,3) 的左陪集，即：
O_-^{\uparrow}(1,3)=\Lambda_PO_+^{\uparrow}(1,3)=\{\Lambda_P h|h\in O_+^{\uparrow}(1,3)\} \\ O_-^{\downarrow}(1,3)=\Lambda_TO_+^{\uparrow}(1,3)=\{\Lambda_T h|h\in O_+^{\uparrow}(1,3)\} \\ O_+^{\downarrow}(1,3)=\Lambda_P\Lambda_TO_+^{\uparrow}(1,3)=\{\Lambda_P\Lambda_T h|h\in O_+^{\uparrow}(1,3)\} \\
不过它们几个没法构成群，因为连恒元都没有。集合符号中的上下箭头分别表示第0行第0列的正负，正负号分别表示矩阵行列式的正负，这显然表明，这四个集合没有共同元素。
把这四个集合组合在一起，可以看成一个更大的集合，记为O(1,3) 。其中O 代表着orthogonal，正交，详情请见常见李群和李代数。括号中的1 ，3 代表着度规在正交归一基底下，对角元正一和负一的个数。
之前说过，这个集合构成一个群，并且是个李群。既然是个李群，它就能够看成一个流形，那么这个流形的图像是怎样的呢？
显然，它是一个非连通流形，并且至少包含着四个互不连通的分支即O_+^{\uparrow}(1,3),O_-^{\uparrow}(1,3),O_-^{\downarrow}(1,3),O_+^{\downarrow}(1,3) 。因为连续变化不可能导致行列式或者矩阵元的突变。
现在要问，这四个分支各自连通吗？会不会实际上有一百八十个互不连通的分支而我们没注意到？Thanks to Bleecker，他证明了这四个流形都是连通的。
考察它的子流形O_+^{\uparrow}(1,3) ，它对于一组固定的快度(\phi_x,\phi_y,\phi_z) ，是一个SO(3) 群（详见常用李群和李代数），即只存在着三维空间中的旋转所对应的群，它的流形图像是一个对径认同的实心球体。
而只考虑单个洛伦兹Boost，其快度的取值范围为(-\infty,\infty) ，其流形可看做是\mathbb R ，故整个O_+^{\uparrow}(1,3) 的流形结构为\mathbb R^3\times SO(3) 。
那么现在，我们对O(1,3) 这个集合已经有了较为充分的认识了，现在要问，它是洛伦兹群吗？
回答是：是也不是。
严格的说，它是洛伦兹群的4\times 4 的矩阵表示（也是最常用的表示），真正的洛伦兹群，是全体保洛伦兹度规的(1,1) 型张量所构成的集合，其群元素是抽象的映射本身。
比如你想在一个球面上赋予一个标量场，一般你会拿球坐标去表示各个点的标量是啥；但实际上你这个标量场一旦赋予了以后，是不依赖于坐标系的，各个点都对应着一个唯一确定的标量。
这种抽象的、点与数字的一一对应本身，叫做映射，平时所做的、用坐标系来定量描绘映射具体的形式，相当于是映射的某种表示。你当然可以选取不同的坐标系，每种坐标系对应着不同的表示，不过那个映射，还是那个映射。
抽象总是从具体的现实中产生的...你总得从某件事物出发， 最后才能把所有现实的痕迹抹除掉。 — Pablo Picasso所以真正的洛伦兹群，实际上是：L=\{\Lambda^a_{\ b}\in \mathscr T_V(1,1)|\Lambda^a_{\ c}\Lambda^b_{\ d}g_{ab}=g_{cd}\}
其中，g_{ab} 为四维时空V （作为一个线性空间）的洛伦兹度规，下标ab 为抽象指标记号，表明它是一个(0,2) 型张量。\mathscr T_V(1,1) 代表全体光滑的(1,1) 型张量。
我们之所以可以用O(1,3) 来表示L ，是因为他们俩是李群同构的，可以自然地认同。如此，L 同样也会具有O(1,3) 的结构，是一个由四个互不连通的连通分支组成的非连通流形。
其中，与O_+^{\uparrow}(1,3) 对应的L_+^{\uparrow} 是L 的李子群，称为固有洛伦兹群（正时正规洛伦兹群、SO^{\uparrow}(1,3) 、限制洛伦兹群、正常洛伦兹群……你都不知道它有多少个名号）
那么这个洛伦兹群既然是个流形，它是几维的呢？
之前的文章中那些副产品，又是些什么呢？为什么要叫它们生成元？
为什么生成元放到e 指数上，就可以生成那六类矩阵呢？
那六类矩阵一看就是个李群，它们和洛伦兹群的关系是什么呢？
以上所有问题，都将在下一篇文章【群论】洛伦兹群的李代数中得到解答。预计这周写完。
