幾個等價的判定條件：設 A\in M_n(\mathbb R) 是實對稱陣，則
A 半正定
\Leftrightarrow 對任意 x\in\mathbb R^n,x'Ax\ge 0 (這個是定義)
\Leftrightarrow A 的所有特征值非負
\Leftrightarrow 存在同階可逆陣 C 使得 C'AC=\mathrm{diag}\{I_r,O\}
\Leftrightarrow A 的負慣性指數為零(或者說規典範為 \mathrm{diag}\{I_r,O\} )
\Leftrightarrow A 的所有主子式非負(這裏和正定有點區別，正定只要求順序主子式)
而要證明一個矩陣半負定， 只要證 -A 是半正定 。這是很顯然的，因為
x'Ax\le 0\Leftrightarrow x'(-A)x\ge 0
實際解題時，應根據題目具體的條件靈活選擇判定定理。
一個例子：設二次型 f(x_1,\cdots,x_n)=n\sum\limits_{i=1}^nx_i^2-\left(\sum\limits_{i=1}^nx_i\right)^2 ，試證明 f 半正定。這裏用上面的判定條件，給出三種方法：
法一：計算特征值。寫出該二次型的矩陣為
\[A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {n - 1}&{ - 1}& \cdots &{ - 1}\\ { - 1}&{n - 1}& \cdots &{ - 1}\\ \vdots & \vdots &{}& \vdots \\ { - 1}&{ - 1}& \cdots &{n - 1} \end{array}} \right)=nI-E\]
其中 E 是全1矩陣，容易計算出 E 的特征值為 n,0,\cdots,0 ，因此 A 的特征值為 0,n,\cdots,n ，全部非負，這就說明 A 是半正定；
法二：同樣用矩陣方法，對 k 階 上述形狀 的矩陣 A_k ，利用降階公式容易計算出其行列式為
\[\left| {{A_k}} \right| = \left| {n{I_k} - {\mathbf 1_k}{\mathbf 1_k}'} \right| = {n^{k - 1}}(n - {\mathbf 1_k}'{\mathbf 1_k}) = {n^{k - 1}}(n - k)\]
其中 \mathbf 1_k 是元素全1的 k 維列向量。這說明 A 的 任意主子式非負 (因為它的任意主子式都是那個形狀)，從而半正定；
法三：利用定義，由Cauchy-Schwarz不等式，對任意 x=(x_1,\cdots,x_n)'\in\mathbb R^n ，成立
\[(x_1^2 + \cdots + x_n^2) \cdot n = {\left\| x \right\|^2}{\left\| {{1_n}} \right\|^2} \ge {(x,{1_n})^2} = {({x_1} + \cdots + {x_n})^2}\]
上式即 n\sum\limits_{i=1}^nx_i^2-\left(\sum\limits_{i=1}^nx_i\right)^2\ge 0 ，因此 A 半正定。
為了簡潔快速一些，我在這幾個解法裏面用了一些小結論，不知道題主的線性代數水平如何，如果有的地方看不懂可以在書上找一下QAQ
然後判定條件的話做題時想到哪個就用哪個就好了，做法沒有孰優孰劣，能做出來就是好方法！
