如果磁单极子存在，就可以解释电荷的量子化。这是狄拉克在1931年提出来的。
众所周知，静电场是由电荷激发的。历史上，人们曾经以电场类比磁场，认为静磁场是由「磁荷」激发的，但始终没有确凿的实验证据支持「磁荷」的观点。现在我们假定在原点处有一个磁荷为 e_M 的磁单极子，它激发这样的一个静磁场：
\mathbf{B} = \left( \frac{e_M}{r^2} \right) \hat{\mathbf{e}}_r. \quad (1)
取一个闭合曲面围住该磁单极子，容易求出磁通量为
\oint_{S} \mathbf{B} \cdot d\mathbf{S} = 4\pi e_M \neq 0, \quad (2)
这就与麦克斯韦方程组中的 \nabla\cdot\mathbf{B}=0 相违背了。
(1)式中的静磁场大体可从以下矢势推出，即
\mathbf{A} = \left[ \frac{e_M(1-\cos{\theta})}{r\sin{\theta}} \right] \hat{\mathbf{e}}_{\phi}, \quad (3)
之所以说「大体」是因为(3)式在 \theta=\pi 处是奇异的。事实上，没法构造出毫无奇异点的矢势。怎么办呢？考虑到矢势是用来得出磁场 \mathbf{B} 的工具，我们不必坚持非用一个单一的表达式。可以构造如下一对矢势：
\begin{aligned} \mathbf{A}^{(\text{I})} &= \left[ \frac{e_M(1-\cos{\theta})}{r\sin{\theta}} \right] \hat{\mathbf{e}}_{\phi}, \quad (\theta<\pi-\varepsilon), \quad (4a) \\ \mathbf{A}^{(\text{II})} &= -\left[ \frac{e_M(1+\cos{\theta})}{r\sin{\theta}} \right] \hat{\mathbf{e}}_{\phi}, \quad (\theta>\varepsilon), \quad (4b) \\ \end{aligned}
这样 \mathbf{A}^{\text{(I)}} 除了环绕 -z 轴的一个锥形区域外处处适用，\mathbf{A}^{\text{(II)}} 除了环绕 +z 轴的一个锥形区域外处处适用。在 \varepsilon < \theta < \pi-\varepsilon 的交叠区域，两个矢势都可以用，它们可通过一个规范变换联系起来，即
\mathbf{A}^{(\text{II})} - \mathbf{A}^{(\text{I})} = -\left( \frac{2e_M}{r\sin{\theta}} \right) \hat{\mathbf{e}}_{\phi} = \nabla\Lambda, \quad (5)
其中的
\Lambda = -2e_M\phi. \quad (6)
接下来，我们考虑置于(1)式的磁场中的点电荷 q 的波函数。波函数的具体形式依赖于具体采用的规范。既然在交叠区域两个矢势都可以用，那么相应的波函数就有如下关系
\psi^{(\text{II})} = \exp\left(\frac{-2iq e_M\phi}{\hbar c}\right) \psi^{(\text{I})}, \quad (7)
这个关系是由规范 \Lambda 决定的。两个波函数 \psi^{(\text{II})} 和 \psi^{(\text{I})} 必须都是单值函数，因为一旦选定了规范，波函数的形式就是唯一的。
我们来考察赤道处 (\theta=\pi/2) 波函数的性质。沿着赤道走一圈，方位角 \phi=0\rightarrow 2\pi ，波函数\psi^{(\text{II})} 和 \psi^{(\text{I})} 都必须回到原来的值，因为它们都是单值函数。根据(7)式，只有满足如下关系才行，即
\frac{2q e_M}{\hbar c} = \pm N, \quad N=0,1,2,\cdots \quad (8)
已知电荷是量子化的，即 q=\pm n|e| ，这里的 |e| 是电子电量的绝对值。把这个条件代入(8)式，就可以推出： 磁荷是量子化的 ，其单位是
\frac{\hbar c}{2|e|} \simeq \left(\frac{137}{2}\right) |e|. \quad (9)
假如磁单极子存在的话，我们就可以利用(8)式倒推回去，解释为什么 电荷是量子化的 。 [1] 而电荷已知是量子化的，这就指出了磁单极子存在的可能性。这正是狄拉克的想法的美妙之处。
参考
- ^ Sakurai, Modern Quantum Mechanics, P.140-143.
