如果磁單極子存在，就可以解釋電荷的量子化。這是狄拉克在1931年提出來的。
眾所周知，靜電場是由電荷激發的。歷史上，人們曾經以電場類比磁場，認為靜磁場是由「磁荷」激發的，但始終沒有確鑿的實驗證據支持「磁荷」的觀點。現在我們假定在原點處有一個磁荷為 e_M 的磁單極子，它激發這樣的一個靜磁場：
\mathbf{B} = \left( \frac{e_M}{r^2} \right) \hat{\mathbf{e}}_r. \quad (1)
取一個閉合曲面圍住該磁單極子，容易求出磁通量為
\oint_{S} \mathbf{B} \cdot d\mathbf{S} = 4\pi e_M \neq 0, \quad (2)
這就與馬克士威方程式組中的 \nabla\cdot\mathbf{B}=0 相違背了。
(1)式中的靜磁場大體可從以下向量勢推出，即
\mathbf{A} = \left[ \frac{e_M(1-\cos{\theta})}{r\sin{\theta}} \right] \hat{\mathbf{e}}_{\phi}, \quad (3)
之所以說「大體」是因為(3)式在 \theta=\pi 處是奇異的。事實上，沒法構造出毫無奇異點的向量勢。怎麽辦呢？考慮到向量勢是用來得出磁場 \mathbf{B} 的工具，我們不必堅持非用一個單一的運算式。可以構造如下一對向量勢：
\begin{aligned} \mathbf{A}^{(\text{I})} &= \left[ \frac{e_M(1-\cos{\theta})}{r\sin{\theta}} \right] \hat{\mathbf{e}}_{\phi}, \quad (\theta<\pi-\varepsilon), \quad (4a) \\ \mathbf{A}^{(\text{II})} &= -\left[ \frac{e_M(1+\cos{\theta})}{r\sin{\theta}} \right] \hat{\mathbf{e}}_{\phi}, \quad (\theta>\varepsilon), \quad (4b) \\ \end{aligned}
這樣 \mathbf{A}^{\text{(I)}} 除了環繞 -z 軸的一個錐形區域外處處適用，\mathbf{A}^{\text{(II)}} 除了環繞 +z 軸的一個錐形區域外處處適用。在 \varepsilon < \theta < \pi-\varepsilon 的交疊區域，兩個向量勢都可以用，它們可透過一個規範變換聯系起來，即
\mathbf{A}^{(\text{II})} - \mathbf{A}^{(\text{I})} = -\left( \frac{2e_M}{r\sin{\theta}} \right) \hat{\mathbf{e}}_{\phi} = \nabla\Lambda, \quad (5)
其中的
\Lambda = -2e_M\phi. \quad (6)
接下來，我們考慮置於(1)式的磁場中的點電荷 q 的波函式。波函式的具體形式依賴於具體采用的規範。既然在交疊區域兩個向量勢都可以用，那麽相應的波函式就有如下關系
\psi^{(\text{II})} = \exp\left(\frac{-2iq e_M\phi}{\hbar c}\right) \psi^{(\text{I})}, \quad (7)
這個關系是由規範 \Lambda 決定的。兩個波函式 \psi^{(\text{II})} 和 \psi^{(\text{I})} 必須都是單值函式，因為一旦選定了規範，波函式的形式就是唯一的。
我們來考察赤道處 (\theta=\pi/2) 波函式的性質。沿著赤道走一圈，方位角 \phi=0\rightarrow 2\pi ，波函式\psi^{(\text{II})} 和 \psi^{(\text{I})} 都必須回到原來的值，因為它們都是單值函式。根據(7)式，只有滿足如下關系才行，即
\frac{2q e_M}{\hbar c} = \pm N, \quad N=0,1,2,\cdots \quad (8)
已知電荷是量子化的，即 q=\pm n|e| ，這裏的 |e| 是電子電量的絕對值。把這個條件代入(8)式，就可以推出： 磁荷是量子化的 ，其單位是
\frac{\hbar c}{2|e|} \simeq \left(\frac{137}{2}\right) |e|. \quad (9)
假如磁單極子存在的話，我們就可以利用(8)式倒推回去，解釋為什麽 電荷是量子化的 。 [1] 而電荷已知是量子化的，這就指出了磁單極子存在的可能性。這正是狄拉克的想法的美妙之處。
參考
- ^ Sakurai, Modern Quantum Mechanics, P.140-143.
