在實際生活中隨機找一個數，這個數是1開頭的機率是多少呢？
正常人的回答估計都是1/9，我的第一反應也是1/9
但實際上這個機率是lg2，約為30.1%
我後面的反應是 怎麽會這麽高？數學是不是又在搞什麽故弄玄虛？
但它確實是這樣
這就是首位數定律，也叫本福特定律
它的數學表述為：在b進位制中，以數n起頭的數出現的機率為 log_b(n+1)-log_bn
在十進制中首位數出現的機率分別為：
1，30.1%
2，17.6%
3，12.5%
4，9.7%
5，7.9%
6，6.7%
7，5.8%
8，5.1%
9，4.6%
簡單的解釋是：從1數到10， 1 2 3 4 …… 10，以1開頭的數位有2個，機率20%
從1數到20，1 2 3 …… 10 11 12 ……20，以1開頭的數位有11個，機率55%
從1數到30，1 2 3 …… 30，以1開頭的數位有11個，機率36.7%
……
從1數到100，以1開頭的數位有12個，機率12%
……
法蘭克·本福特透過計算得出以1開頭的數位出現的機率為lg2，並總結出了上述規律。
嚴格的證明參見Hill, T. P. "A Statistical Derivation of the Significant-Digit Law." Stat. Sci. 10, 354-363, 1996.
它的適用範圍異常的廣泛，幾乎所有日常生活中沒有人為規則的統計數據都滿足這個定律。比如說世界各國人口數量、各國國土面積、賬本、物理化學常數、數學物理課本後面的答案、放射性半衰期等等。統計物理中的三個重要分布，Boltzmann-Gibbs分布，Bose-Einstein分布，Fermi-Dirac分布，也基本上滿足這個定律。
這個定律有什麽用呢？
一個非常著名的案例就是安然公司的造假案。2001年，美國最大的能源交易商安然公司宣布破產，並傳出公司高層管理人員涉嫌做假賬的傳聞。據說安然高層改動過財務數據，因為他們所公布的2001-2002年每股盈利數據不符合本福特定律。
所以以後你們改實驗數據、報假賬什麽的都要當心了
