在【群論】從勞侖茲變換到勞侖茲群中，我們直觀的感受到了勞侖茲群和它對應的李代數，不過當時我們可能不知道得到的結果有什麽用處，或者它有什麽意義。在補充了【群論】物理人的李群和李代數中的數學知識之後（ 當然，沒學過這部份數學也沒什麽，有點基本概念就行，我初學的時候李代數和李群都分不清也能學的開心又快樂 ），我們可以進行更為深入的探討了。
抽象總是從具體的現實中產生的...你總得從某件事物出發， 最後才能把所有現實的痕跡抹除掉。 — Pablo Picasso首先要問，什麽是勞侖茲群？一個群，首先是個集合，其次要有群乘法。之前的文章中給出過幾個矩陣：
R_x=1\oplus\begin{pmatrix}1&0&0\\0&\cos\theta_x&-\sin\theta_x\\0&\sin\theta_x&\cos\theta_x\end{pmatrix} \\ R_y=1\oplus\begin{pmatrix}\cos\theta_y&0&\sin\theta_y\\0&1&0\\-\sin\theta_y&0&\cos\theta_y\end{pmatrix} \\ R_z=1\oplus\begin{pmatrix} \cos\theta_z&-\sin\theta_z&0\\ \sin\theta_z&\cos\theta_z&0\\ 0&0&1 \end{pmatrix} \\ \begin{align*} \Lambda_x(\phi_x)=\begin{pmatrix}\cosh(\phi_x)&\sinh(\phi_x)&0&0\\\sinh(\phi_x)&\cosh(\phi_x)&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{pmatrix}\\ \end{align*}\\ \\ \begin{align*} \Lambda_y(\phi_y)=\begin{pmatrix}\cosh(\phi_y)&0&\sinh(\phi_y)&0\\0&1&0&0\\\sinh(\phi_y)&0&\cosh(\phi_y)&0\\0&0&0&1\\\end{pmatrix}\\ \end{align*}\\ \\ \begin{align*} \Lambda_z(\phi_z)=\begin{pmatrix}\cosh(\phi_z)&0&0&\sinh(\phi_z)\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\\sinh(\phi_z)&0&0&\cosh(\phi_z)\\\end{pmatrix}\\ \end{align*}\\ \\
它們自然構成一個集合，這個集合中所有元素還能保度規（等價於保長度）。現在問，這個集合可以構成群嗎？取矩陣乘法為群乘法，它們要是能構成群那真是見了鬼了，封閉性都不滿足好伐。
不過這也不是什麽大問題，直接把這個集合拓寬就好了。容易驗證（ 證明見 常見李群及李代數），兩個保度規的4\times 4 實矩陣（\Lambda^Tg\Lambda=g ）相乘以後還是保度規的（封閉性），以及保度規的矩陣一定可逆（存在逆元），正常人都會猜這個集合是全體保度規的4\times 4 實矩陣。而且非常好的是，它還能構成一個群（試證之），並且是個李群（可以代入李群定義體會一下）。
然而，壞訊息是，\det(\Lambda^Tg\Lambda)=\det g 告訴我們，\det \Lambda=\pm1 。而前面那六類矩陣，很遺憾，行列式均為1，它們再怎麽相互乘來乘去，行列式仍然為1。
另外，考慮矩陣等式\Lambda^Tg\Lambda=g 的第一行第一列的分量等式（按照約定，或許稱之為第0行0列較為合適）：
(\Lambda^T)_0^{\ 0}g_{00}\Lambda^0_{\ 0}+(\Lambda^T)_0^{\ 1}g_{11}\Lambda^1_{\ 0}+(\Lambda^T)_0^{\ 2}g_{22}\Lambda^2_{\ 0}+(\Lambda^T)_0^{\ 3}g_{33}\Lambda^3_{\ 0}=g_{00}
即-(\Lambda^T)_0^{\ 0}\Lambda^0_{\ 0}+(\Lambda^T)_0^{\ 1}\Lambda^1_{\ 0}+(\Lambda^T)_0^{\ 2}\Lambda^2_{\ 0}+(\Lambda^T)_0^{\ 3}\Lambda^3_{\ 0}=-1
又由於(\Lambda^T)^{\ \mu}_\nu=\Lambda^{\mu}_{\ \nu} （轉置矩陣的第\nu 行第\mu 列，顯然等於原矩陣的第\mu 行第\nu 列）
所以1+\sum\limits_{i=1}^3(\Lambda^i_{\ 0})^2=(\Lambda^0_{\ 0})^2 ，這使得\Lambda^0_{\ 0} 或大於等於1，或小於等於-1。
而之前的六類矩陣，它們的第0行第0列矩陣元均大於等於1，容易驗證，它們的乘積也必然滿足這一點。
可見，單靠它們，是無法生成全體保度規的4\times 4 矩陣的。但是在加上\Lambda_P= \begin{pmatrix} 1&0&0&0\\ 0&-1&0&0\\ 0&0&-1&0\\ 0&0&0&-1 \end{pmatrix} 和\Lambda_T= \begin{pmatrix} -1&0&0&0\\ 0&1&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1 \end{pmatrix} 以後，這個問題就迎刃而解了。
總結來說，全體保度規的4\times 4 實矩陣構成的集合，有四個分支，其中一個分支是由那六類矩陣透過矩陣乘法生成的一個集合，這個集合構成一個群（試證之），並且是個李群。暫且記為O_+^{\uparrow}(1,3) ，之後會解釋這個符號的用意。
另外幾個分支，均是O_+^{\uparrow}(1,3) 的左陪集，即：
O_-^{\uparrow}(1,3)=\Lambda_PO_+^{\uparrow}(1,3)=\{\Lambda_P h|h\in O_+^{\uparrow}(1,3)\} \\ O_-^{\downarrow}(1,3)=\Lambda_TO_+^{\uparrow}(1,3)=\{\Lambda_T h|h\in O_+^{\uparrow}(1,3)\} \\ O_+^{\downarrow}(1,3)=\Lambda_P\Lambda_TO_+^{\uparrow}(1,3)=\{\Lambda_P\Lambda_T h|h\in O_+^{\uparrow}(1,3)\} \\
不過它們幾個沒法構成群，因為連恒元都沒有。集合符號中的上下箭頭分別表示第0行第0列的正負，正負號分別表示矩陣行列式的正負，這顯然表明，這四個集合沒有共同元素。
把這四個集合組合在一起，可以看成一個更大的集合，記為O(1,3) 。其中O 代表著orthogonal，正交，詳情請見常見李群和李代數。括弧中的1 ，3 代表著度規在正交歸一基底下，對角元正一和負一的個數。
之前說過，這個集合構成一個群，並且是個李群。既然是個李群，它就能夠看成一個流形，那麽這個流形的影像是怎樣的呢？
顯然，它是一個非連通流形，並且至少包含著四個互不連通的分支即O_+^{\uparrow}(1,3),O_-^{\uparrow}(1,3),O_-^{\downarrow}(1,3),O_+^{\downarrow}(1,3) 。因為連續變化不可能導致行列式或者矩陣元的突變。
現在要問，這四個分支各自連通嗎？會不會實際上有一百八十個互不連通的分支而我們沒註意到？Thanks to Bleecker，他證明了這四個流形都是連通的。
考察它的子流形O_+^{\uparrow}(1,3) ，它對於一組固定的快度(\phi_x,\phi_y,\phi_z) ，是一個SO(3) 群（詳見常用李群和李代數），即只存在著三維空間中的旋轉所對應的群，它的流形影像是一個對徑認同的實心球體。
而只考慮單個勞侖茲Boost，其快度的取值範圍為(-\infty,\infty) ，其流形可看做是\mathbb R ，故整個O_+^{\uparrow}(1,3) 的流形結構為\mathbb R^3\times SO(3) 。
那麽現在，我們對O(1,3) 這個集合已經有了較為充分的認識了，現在要問，它是勞侖茲群嗎？
回答是：是也不是。
嚴格的說，它是勞侖茲群的4\times 4 的矩陣表示（也是最常用的表示），真正的勞侖茲群，是全體保勞侖茲度規的(1,1) 型張量所構成的集合，其群元素是抽象的對映本身。
比如你想在一個球面上賦予一個純量場，一般你會拿球座標去表示各個點的純量是啥；但實際上你這個純量場一旦賦予了以後，是不依賴於座標系的，各個點都對應著一個唯一確定的純量。
這種抽象的、點與數位的一一對應本身，叫做對映，平時所做的、用座標系來定量描繪對映具體的形式，相當於是對映的某種表示。你當然可以選取不同的座標系，每種座標系對應著不同的表示，不過那個對映，還是那個對映。
抽象總是從具體的現實中產生的...你總得從某件事物出發， 最後才能把所有現實的痕跡抹除掉。 — Pablo Picasso所以真正的勞侖茲群，實際上是：L=\{\Lambda^a_{\ b}\in \mathscr T_V(1,1)|\Lambda^a_{\ c}\Lambda^b_{\ d}g_{ab}=g_{cd}\}
其中，g_{ab} 為四維時空V （作為一個線性空間）的勞侖茲度規，下標ab 為抽象指標記號，表明它是一個(0,2) 型張量。\mathscr T_V(1,1) 代表全體光滑的(1,1) 型張量。
我們之所以可以用O(1,3) 來表示L ，是因為他們倆是李群同構的，可以自然地認同。如此，L 同樣也會具有O(1,3) 的結構，是一個由四個互不連通的連通分支組成的非連通流形。
其中，與O_+^{\uparrow}(1,3) 對應的L_+^{\uparrow} 是L 的李子群，稱為固有勞侖茲群（正時正規勞侖茲群、SO^{\uparrow}(1,3) 、限制勞侖茲群、正常勞侖茲群……你都不知道它有多少個名號）
那麽這個勞侖茲群既然是個流形，它是幾維的呢？
之前的文章中那些副產品，又是些什麽呢？為什麽要叫它們生成元？
為什麽生成元放到e 指數上，就可以生成那六類矩陣呢？
那六類矩陣一看就是個李群，它們和勞侖茲群的關系是什麽呢？
以上所有問題，都將在下一篇文章【群論】勞侖茲群的李代數中得到解答。預計這周寫完。
