我來主要談一談 微分拓撲學 在數理經濟學中的套用。
德布魯教授在諾貝爾經濟學獎的獲獎演說中，提到過大數學家S.Smale（斯梅爾，沒錯就是非線性泛函分析中著名的Palais.Smale條件的斯梅爾，著名的微分拓撲學家，主要研究動力系統）向他介紹過一個重要的定理——Sard定理及其拓展：橫截-稠密性定理。橫截性的抽象定義如下：
橫截-稠密性定理：假設 Z\subset N 為 s 維光滑流形，稱對映 f:M\rightarrow N 橫截於 Z ，指下式成立：
df(x)(T_{x}M)\oplus T_{f(x)}Z=T_{f(x)}N 。
很多人可能光看定義頭都大了（其實這個定義有很直觀的幾何意義）。在這裏我不想過多地去談所謂橫截性的抽象定義， 我直接轉譯成初等微積分的語言 ，相信都能看懂：
假設有 M 個（非線性的）方程式， N 個未知數，組成的方程式組：
f^{1}(v_{1},v_{2}...v_{N};q_{1},q_{2}...q_{S})=0\\ ......\\ f^{M}(v_{1},v_{2}...v_{N};q_{1},q_{2}...q_{S})=0
或者縮寫成 f(v;q)=0 ，其中 q 是 S 個參數。 橫截-稠密性定理說的是 ：
如果當 f(v;q)=0 時， M\times (N+S) 維矩陣的秩 rank Df(v;q) 為 M （行滿秩的），那麽對於 幾乎（按Lebesgue測度）所有的 q ，當給定這個 q 之後（比如 q=\bar{q} ）， M\times N 矩陣 D_{v}f(v;q) 的秩也為 M 。
這跟經濟學有什麽關系呢？在進行大範圍分析的時候，我們總是把經濟的初始稟賦 w 作為參數。我們需要證明，對於幾乎所有的初始稟賦，經濟都是正則的！（經濟正則的重要意義後面會講述）
給定經濟體中第 i 個人對第 h 種商品的 超額需求函式：
z_{h}^{i}(p,w)=x_{i}^{h}(p,pw^{i}-w_{h}^{i}) ，那麽第 h 種商品的 總超額需求函式 為 ：
Z_{h}(p,w)=\sum_{i=1}^{n}x_{h}^{i}(p,pw^{i}-w_{h}^{i})
從而 整個經濟體 的 總超額需求函式 為 C^{1} 對映 Z=[Z_{1}...Z_{h}...Z_{L-1}] 。根據我前面說的橫截性定理，我們可以證明對於幾乎所有的初始稟賦 w ，經濟都是 正則 的。
由於價格球體的正象限部份是緊的，因此，根據反函式定理，任何正則經濟都有有限個均衡點，使得超額需求 z(p)=0 ，即市場出清。
正則經濟之所以重要，一個關鍵點是在於我們可以進行指數分析，所謂指數，直觀理解，我們首先從一維開始：
當價格（橫座標）很小的時候，超額需求（縱座標）為正，當價格很高時，超額需求（縱座標）為負。這是非常一般的假設，也非常符合常識。也就是說， 超額需求是指向區間內的（這個邊界條件非常重要！！！！！！！！） 。問題是我們如何透過這一最最普遍的假設入手，分析市場動力學的定性行為呢？
對於 高維空間的指數，也有非常直觀的畫面演示， 可以參考我的另一篇回答：
（Poincare-Hopf定理） 設N 是一個n 維緊致 帶邊光滑流形 ，f 為其上的光滑向量場，具有有限個零點。若對於\forall x\in\partial N ，有f(x)\cdot g(x) 為正（其中g(x) 為超曲面\partial N 的Gauss對映）， 也就是說，要求向量場在流形邊界處指向外。 則該動態系統的指數和等於流形N 的歐拉示性數\chi(N) 。
我們剛剛說過，超額需求是指向區間內的。因此我們需要把向量場乘以負號（翻轉過來）以滿足定理的要求，因此就有：
註： 歐拉示性數\chi(D^{n}的正象限部份)=1 。（因為與 單點同倫！ ）。同時要使用Poincare-Hopf 定理，只有對正則經濟才有效，所以橫截-稠密性定理才那麽重要！
