首先， \sqrt a \cdot \sqrt b 与 \sqrt{a\cdot b} 表示两种不同的运算过程。我们可以从式子的结构很容易看出：前者有三个运算符号，表示 先分别开方，再相乘 ；后者有两个运算符号，表示 先相乘，再开方 。
① 若 a<0 ，且 b<0 ，
由于 a\cdot b>0 ，进而 \sqrt {a \cdot b} 为正实数。
而 \sqrt a=|a|\rm i 、 \sqrt b=|b| \rm i 都为纯虚数。于是，二者相乘，会在 |a||b| 之上多出一个 \rm i^2 ，故 \sqrt a \cdot \sqrt b 为负实数。
\rm \sqrt{-3} \cdot \sqrt{-5}=\sqrt 3 i \cdot \sqrt 5i =\sqrt 3\cdot \sqrt 5i^2 =- \sqrt{15} ，
\sqrt{(-3)\cdot(-5)}=\sqrt{15} 。
因此， \sqrt{-3}\cdot \sqrt{-5}\ne \sqrt{(-3)\cdot (-5)} 。
② \sqrt a \cdot \sqrt b = \sqrt{a\cdot b} 的充分条件是 a\ge 0 ， b\ge 0 。
我们知道，正数有两个平方根，且互为相反数。然而，为了确保一个式子只对应一个数，习惯上只把正的平方根用根号表示。否则，求解具体问题时，我们既无法区分 1+\sqrt 5 与 1-\sqrt 5 ，也无法简要地表示哪个值需要舍掉。
换言之，只有当 a\ge 0 时，才能保证 (\sqrt a)^2=\sqrt{a^2}=a 。否则，要么差一个负号，要么差一个虚数单位。
于是，当 a\ge 0 ， b\ge 0 时，以下的推导过程才能保证成立。
\begin{split} \sqrt {a} \cdot \sqrt{b} \ & =\sqrt{(\sqrt {a} \cdot \sqrt{b})^2} \\ & =\sqrt{(\sqrt {a})^2 \cdot (\sqrt{b})^2} \\ & =\sqrt{a \cdot b} . \end{split}
