\lim_{n \rightarrow \infty}{\frac{\ln^2{n}}{n}\sum_{k=2}^{n-2}{\frac{1}{\ln k\ln(n-k)}}}
@23Square 给出的答案已然完备。
其中一个方向的放缩比较简单：
{\frac{\ln^2{n}}{n}\sum_{k=2}^{n-2}{\frac{1}{\ln k\ln(n-k)}}}\geq1-\frac{3}{n}
在这里给出另一个方向的放缩的一种思路：
由Cauchy-Schwarz不等式
{\frac{\ln^2{n}}{n}\sum_{k=2}^{n-2}{\frac{1}{\ln k\ln(n-k)}}}\leq{\frac{\ln^2{n}}{n}\sum_{k=2}^{n-2}{\frac{1}{\ln^2{k}}}}
再由O’Stolz定理及迫敛性准则，易得
\lim_{n \to \infty} {\frac{\ln^2{n}}{n}\sum_{k=2}^{n-2}{\frac{1}{\ln^2{k}}}}=1
由迫敛性准则，所求极限为1.
