搞非线性的试着答一波...这是非线性控制方法论vs频域方法论的大顺风局，是说明非线性方法论可提供更深刻直觉的绝佳领域，看了看没人推那我一定要试着推一推。什么是极点？什么是零点？左右半平面零极点到底意味着啥？为什么要求系统最小相位？相信学本科控制系统的朋友都痛苦过
这时候频域老哥就会说了，极点往下拐，零点往上拐，最小相系统可以画出唯一bode图..（这还是我硕士入学面试题…）简直比抽象更抽象。在频域里来回浸润的同志对着bode图可以一顿「直观理解」，很容易忘记这一切都是驯化的观点，所谓的直观也只是在所构建工具之上的直观，仅限于线性+SISO，不容易跟真实对象建立物理对应，所获得的直觉性观点也少之又少。真做了工程师，站在真实系统面前也只知道扫个频看个频谱...诚然电力电子/通信领域，频域的故事讲得很漂亮，但电气化的大航海时代早就结束了，现在是造高达的时代，更广阔的控制领域，不敢说频域害人不浅，也只能说过于rookie level了。
实际上就是害人不浅，你可以听到很多高精尖领域里的人声称还是用频域这一套，有的时候团队带头人是懂非线性的，他只是照顾成员用老一套来讲故事罢了…（当然不排除有些高精尖领域高精尖在装备上而不是算法上，用线性SISO就够了。）为了跟行内人士打交道，学校不得不教，学生不得不学，学完了已经对进阶的东西毫无兴趣了..实际上所谓进阶的东西一开始就学也不会有什么问题。国内高校懂的人也不太多，做控制的海龟又难拿教职，这何尝不是一种新式技术封锁？其实这事儿跳出线性SISO系统可能反而更直观，否则能举的例子太少了。如果说整个大系统是由一堆小系统互联的，每个小系统都有自己的动态（或说状态/微分方程因变量），那么：
这里和可观性有紧密关联。测不到的动态就是观测及其导数的核空间，线性情况下就是observability Gramian，非线性下会复杂很多，不过道理相通，我们可以在线性MIMO下建立insight：
你会发现压根就没有所谓的「零点过程」、「极点过程」，系统就在那里，都是ODE的特征值，一个动态对应零点还是极点取决于视角。本科的时候纳闷既然零/极点会确定性地对应bode图，那应该对应着不同的物理过程。为什么闭环以后零点没变，但又会翻到分母上改变极点？进而改变所谓的特征方程？大部分课程都会告诉你特征方程决定系统性能，但他不会告诉你这实际上是一种妥协..研究它是因为这是输出真正能测的部分，零点对应的动态我们压根测不到，只能期望它是渐进稳定的（即频域法的大前提，也是缺陷之一——最小相位）
拿摇晃酒杯举例，视手上施的力为输入，酒杯位移为输出，可用输出及其导数测得的是酒杯位移/速度/加速度，这些动态对应着极点（一个二阶系统）；但是酒的状态不能通过输出测得，就对应着零点了。如果你一定建立成传递函数，会发现它有左半平面的零点，这是因为水的波动是耗散、渐进稳定的。
酒杯位移作为输出往往不是选择，而是不得不接受的事实..比如领导让你用工业机械臂拿水杯，冲咖啡什么的。控制杯子位移精准很简单，反馈+高增益控制就可以；但要保证酒不洒出来，就要对输入及其导数进行限幅，对应的是小增益控制/饱和控制。
前面说零/极点取决于视角，怎么理解呢？
机械臂的力还是输入，但加了一个摄像头，这样输出就变成杯子和水的位移了，杯子+水就变成了串联质量，此时系统没有「零点」，只不过变成了SIMO系统，不能用传递函数理解。线性化从状态空间看的话，系统一直都是四个特征值，只不过从两个不可观/两个可观变成了全都可观。
另外，我们说的「输出」是指我们最关心的指标、最想跟踪的轨迹，并不一定非得是可测得的量，特别是跟踪问题，有一个因果关系在。比如藤原拓海运豆腐，如果他只关注跑的安全跑得快，那豆腐就是零点；如果他一边看着车一边用屁股测力关心着豆腐，那车和豆腐都是极点，但是车辆动态会影响豆腐的平衡点，没法提前规划。另外，即使用内模观点构造成一个误差镇定问题，那也成两个模型两个insight了；但事实上我们想要一个模型好多insight——既然目的是汽车安全下山，同时镇定豆腐在汽车状态决定的平衡点附近（并不能提前求得），我们需要通过把汽车轨迹设为输出来说明：仅做输出反馈是不够的，用屁股做个状态反馈吧。再聊一个作者领域的例子——液压机械臂轨迹跟踪，液压油可压缩会产生不小的形变（也对应不同的压力），这显然是个零点，因为你并不能确定位移是泵入液压油导致的还是压缩导致的；但我们的目的是跟踪位置轨迹而不是跟踪压力轨迹，即便加压力传感器，也不能把压力视为「系统输出」。这是一个常见错误。
延伸出来，零/极点可以举出特别特别多的现实例子。极点没太有必要举，因为只要能测它都可以对应极点...nontrivial的东西是零点。零点在非线性控制里叫zero dynamics，即零动态。没有零动态/零点的性质在非线性里叫平坦性，是一类可以直接高增益压住的系统。而包含零动态的系统有：
再举几个身边的例子：
读者可能已经意识到，首先零极点精确对消是件多么荒唐的事，它只是因为频域没有对应响应而把对应物理对象都删掉了，但是老师除了说「这样不鲁棒」之外，几乎不会跟你讲清楚为什么（比如大楼的风阻尼器就是零极点对消，但有用不代表真的可以消掉，把楼当刚体怎么算阻尼器发热？）。在看了以上例子之后，读者也能发现零动态稳定性决定了系统能不能镇定，直接说结论：
零动态的故事大概就是这样了，相信你也理解了极点和零点是什么。如果读者学完了线性控制、多少接触过非线性，一定听说过Isidori老爷子，老爷子关注的topic之一就是零动态（根据上面的举例，读者应该不会低估这个方向的潜力吧），提出了isidori标准型，清清楚楚地分离出了零动态；用他自己的话说是「a long，painful but eventually successful story」 [2] 。回头再看老爷子的书，你也许就理解系统分解为什么如此重要；而如果你多少知道一点Lie理论，也就能明白为什么要用几何观点：系统分解的必要步骤-非线性换元法（坐标变换）是要用到微分几何的；哪有什么高处不胜寒，一切的努力都是希望我们看到系统的数学形式时，就像看到「自行车把上挂个购物袋」一样那么直观——用正确的语言讲故事是多么重要。也许你也能理解当这一切都用正确的语言讲明白之后，大佬们攀上高峰的空虚，以及为什么「control is dead」是一句充满骄傲的宣言。
但作为学生又能怎么办呢？频域还是要学的。毕竟考研/保研面试要考啊。
参考
- ^ Kalman, Rudolf Emil. "Mathematical description of linear dynamical systems." Journal of the Society for Industrial and Applied Mathematics, Series A: Control 1.2 (1963): 152-192. https://epubs.siam.org/doi/abs/10.1137/0301010
- ^ isidori talk, 2017 https://www.youtube.com/watch?v=zcvnVCH7IcY&t=2593s
