以下討論比較trivial，給與我同是初學者的人來看看。
定義範疇等價的動機在於，如何更好地刻畫兩個範疇是「一樣的」這個概念。範疇同構太強了，需要函子 F:\mathcal{C}\to \mathcal{D} 與 G:\mathcal{D}\to \mathcal{C} 的復合必須分別 等於 \mathcal{C} 與 \mathcal{D} 上的恒等函子，而範疇等價只需要分別 自然同構於 \mathcal{C} 與 \mathcal{D} 上的恒等函子。
這個條件放寬會帶來什麽差異呢？可以證明， F:\mathcal{C}\to\mathcal{D} 是範疇同構若且唯若：
- full: 對任意 A,B\in \text{Obj}(\mathcal{C}) ， \text{Hom}_\mathcal{C}(A,B)\to \text{Hom}_\mathcal{D}(FA,FB) 是滿射
- faithful: 對任意 A,B\in \text{Obj}(\mathcal{C}) ， \text{Hom}_\mathcal{C}(A,B)\to \text{Hom}_\mathcal{D}(FA,FB) 是單射
- surjective: 對任意 D\in \text{Obj}(\mathcal{D}) ，存在 C\in \text{Obj}(\mathcal{C}) 使得 F(C) 等於 D
- injective: 如果 A,B\in \text{Obj}(\mathcal{C}) 使得 F(A)=F(B) ，則 A=B
而 F:\mathcal{C}\to\mathcal{D} 是範疇等價若且唯若：
- full: 對任意 A,B\in \text{Obj}(\mathcal{C}) ， \text{Hom}_\mathcal{C}(A,B)\to \text{Hom}_\mathcal{D}(FA,FB) 是滿射
- faithful: 對任意 A,B\in \text{Obj}(\mathcal{C}) ， \text{Hom}_\mathcal{C}(A,B)\to \text{Hom}_\mathcal{D}(FA,FB) 是單射
- essentially surjective: 對任意 D\in \text{Obj}(\mathcal{D}) ，存在 C\in \text{Obj}(\mathcal{C}) 使得 F(C) 同構於 D
由此我們可以看到，範疇同構與範疇等價的區別完全在於後面對object的限制條件：範疇同構需要both surjective and injective，而範疇等價僅僅需要essentially surjective就好了。
這就告訴我們，假如說我們有範疇同構（當然同時也是範疇等價），如下圖所示：
我們只需要在右面的範疇（藍色）再添加一些object（下圖橙色點），使得新的object同構於某些舊的object，就可使得這兩個範疇不再同構，但仍然保持範疇等價，因為剛才添加新的object的這個操作仍然保持essentially surjective
換句話說，我們只需要同構地copy許多份object，就會破壞範疇同構但仍然保持範疇等價。
這也解釋了為什麽相比範疇同構，我們還需要範疇等價：因為我們希望允許隨意地copy許多份object，反正copy過後本質上結構沒有發生變化。
文小剛老師居然點贊了，受寵若驚。
