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一個數從1開始,每次各有50%的概率乘0.9或者乘1.1,重復足夠多的次數以後,情況會如何?

2020-09-25知識

還挺有意思的例子,建議納入本科概率論作為教學用例:)

其實已經有很多優秀的回答了,不過一方面大家都沒怎麽提及期望的具體計算,另一方面是出發點要麽過於工程(程式碼),要麽過於數學。本篇回答嘗試從工科水平的概率論出發解釋這一問題。

本質上來說,這就是一個經典的 二項分布 :總共有 m+n 次,其中 m 次漲, n 次跌。(對應成拋硬幣的話就是 m 次正面, n 次反面)。如果知道是二項分布的話,對應的概率就很容易得到: P = \binom{m+n}{m} p^{m} q^{n} ,其中 p 和 q 分別是漲和跌的概率。此處有 p=q=\frac{1}{2} ,故 P = \binom{m+n}{m} (\frac{1}{2})^{m+n} 。

不過這裏最有意思的地方在於,根據大數定理,當 m+n 足夠大的時候, 因為 p=q ,所以 m=n 。這也就意味著漲和跌的次數各占一半,表面上看起來不贏不虧。但是這裏由於還涉及到漲跌幅的問題,由於漲和虧都是 10\% ,當漲的次數和虧的次數相等的時候,對於總金額來說,還是虧錢的。 即當 m+n 足夠大的時候,總會虧錢。

如果想要賺錢的話,需要滿足 1.1^{m}\times0.9^{n}>1 \Rightarrow \frac{m}{n} > \frac{ - \ln0.9}{\ln1.1} \approx1.1 ,即賺錢的次數大約是虧錢的次數的 1.1 倍以上。(然而,隨著 m+n 的增加, m>1.1n 的概率會越來越小,直至趨近於0)。

最後,對於期望而言,有

\begin{align*} E[X] &= \sum_{i=0}^{m+n}\binom{m+n}{i} (\frac{1}{2})^{m+n} \times 1.1^{i} \times 0.9^{m+n-i} \\ &= \sum_{i=0}^{m+n}\binom{m+n}{i} (\frac{1.1}{2})^{i} \times (\frac{0.9}{2})^{m+n-i} \\ &= (\frac{1.1+0.9}{2})^{m+n} =1 \end{align*}

不難發現其實期望恒等於 1 是一個非常特殊的例子,並不僅僅是其他答主所說的那樣,因為漲的上限是無窮大而虧的金額有限。 一個簡單的反例就是,當每次的漲幅為 1.09 而虧的振幅維持在 0.9 ,此時對於 m+n\rightarrow\infty ,盡管最大漲幅依然是無窮大,但是最終的數學期望是 0 。