用數學嚴格定義這個問題：X_1,X_2,\ldots, X_n 是獨立同分布的變量滿足
\Pr(X_i=1.1)=\Pr(X_i=0.9)=1/2,
求S_n=X_1\cdot X_2\cdots X_n 的分布。
註意到 \log S_n=\log X_1+\log X_2+\cdots+\log X_n, 而 \log X_1, \log X_2, \ldots, \log X_n 也是獨立同分布的變量滿足
\Pr(\log X_i=\log 1.1)=\Pr(\log X_i=\log 0.9)=1/2.
計算 \log X_i 的期望和變異數分別等於 \frac{1}{2}\log 0.99\approx -0.0022 和 \frac{1}{4}\log^2 \frac{11}{9}\approx 0.0019.
根據中央極限定理，當 n 足夠大的時候，
\log S_n 近似服從正態分布 \mathcal{N}\Big(\frac{n}{2}\log 0.99 , \frac{n}{4}\log^2 \frac{11}{9}\Big)\approx \mathcal{N}(-0.0022n, 0.0019n),
於是 S_n 近似服從對數正態分布 \textrm{Lognormal}\Big(\frac{n}{2}\log 0.99 , \frac{n}{4}\log^2 \frac{11}{9}\Big).
當 n 趨於正無窮的時候， 對於任意一個正數 \epsilon>0, \Pr(S_n\le \epsilon)=\Pr(\log S_n\le \log \epsilon)=\Phi\left(\frac{\log \epsilon+\frac{n}{2}\log \frac{1}{0.99}}{\frac{\sqrt{n}}{2}\log \frac{11}{9}}\right)\to \Phi(+\infty)=1.
因此 S_n 會依概率收斂於0。
