这个问题等价于，任意给出两个正整数 i,j，问这个数互质的概率。（另外三个象限的情况是完全意一样的）我们设这个概率为p，那么这两个数不互质的概率也就是1-p
两个不互质的正整数，他们一定有一个大于1的最大公因数，所以： 1-p=\sum_{k=2}^{\infty}p(k)
其中p(k)是这两个正整数的最大公因数为k的概率，它等于这两个正整数均为k的倍数的概率乘以它们除以k的商互质的概率，即为 \frac{1}{k^{2}}p ,因此： 1-p=\sum_{k=2}^{\infty}\frac{1}{k^{2}}p
整理一下： 1=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{2}}p=\frac{\pi^{2}}{6}p
故： p=\frac{6}{\pi^{2}}
