这个问题现在有两种相互矛盾的答案： 6/\pi^2 和 0。
6/\pi^2 应该是本题的「标准答案」，它有许多种并不容易的计算方法，此处不再赘述。但是，所有这些方法都依赖于这样一个假设：要求黑棋在整个无穷大平面上的比例，可以先在有限的范围（通常是以原点为中心的正方形）内统计，然后取范围趋于无穷大时的极限。
而 0 则是这样得出的：任取一条从原点出发、斜率为有理数的射线，它会经过无穷颗棋子，其中第一颗是黑棋，此后都是白棋，于是这条射线上黑棋的比例为 0。既然任意一条射线上黑棋的比例都是 0，那么整个平面上黑棋的比例当然也是 0。
为什么会出现这样的矛盾呢？
其实，这个矛盾的背后是一个更一般的问题： 如何定义一个无穷集合 S 的一个子集 A 在 S 中的比例？
我们来看一个更简单的例题：在正整数中，奇数所占的比例是多少？
你一定说是 1/2，对不对？然而我用如下的方法，可以算出 0：
把正整数集合 S 划分成如下集合的并集：
