好久没有在知乎认真答题了。正好这个问题出现在我关注的人的动态里。就答一下吧。我这里有一些博弈论的知识。渗入。
其实类似的问题我答过好多了，不知道很多已经在小说澄清的问题为啥还有那么多人拿来挑错。
排名第一的答案我大略看了一下。感觉应该反对。
首先，黑森林法则的前提是绝对经得起推敲的，宇宙总资源有限不是bug，听到这个话题我想很多科幻迷都会想起来阿西莫夫【最后的问题】。事实上，反正宇宙的熵是不减的，资源怎么可能无限？无论你是碳基生命还是硅基生命，无论你是控制多大领域，你总需要「熵」吧。
这就提到一个有趣的问题，为什么很多人难以接受这个设定，是因为他们是从地球的以往历史来寻找经验，而不是从整个时间里去规划一个文明的最优效用。尺度不一样，拿以往地球上文明征服的历史说事，当然会觉得到处是bug。
对以往地球文明来说，没有资源约束，所以资源约束是bug；对以往地球文明来说，是经过接触然后征服奴役的，所以黑森林法则是bug；对以往地球文明来说，打击其他文明是可能失败，并且暴露自己的（但在宇宙中就不会暴露自己），所以黑森林法则是bug；对于地球文明来说，不会倒着逆向推导最优路径，只会规划很短的一段时间，所以黑森林法则是bug……
这不是宇宙社会学，这是地球对宇宙yy的社会学。
不可取。
我们来看黑森林法则是否成立。我想先科普一个概念，纳什均衡。纳什均衡是这样一个概念：每个人都从多个策略当中选择一个最优策略，但是不是最优是受到其他人策略选择的影响的，而纳什均衡要求给定其他人的最优策略，你的策略是最优的，同时给定你这个最优策略，其他人那个最优策略显然也是最优的。这时候没有人会主动偏离这个均衡。
作为一个练习，考虑只有两个策略：一个是文明暴露之后，立马消灭它，一个是文明暴露以后，去接触它，然后想办法合作或者奴役。一个合理的假设是前者的成本更低。
我们说：消灭它是一个纳什均衡。
为什么？
给定其他人一定消灭它，你会去接触并合作或者奴役吗？你当然不会，因为它一定会被消灭，你去接触了也是无用功，你在那里有了投资就打水漂。所以你的最优策略也是消灭它。
没有人会偏离这个策略均衡。
当然，我们这里只给了两个策略，一个更合理的假设是还有一个策略，就是不管它。不管它就不用支付消灭的成本。但是不管它是有风险的，也就是它技术爆炸了跟你抢资源——而资源是有限的。只要这个期望损失大于消灭的成本，消灭还是最优的；你可以说，我不一定活到最后和他抢资源，我规划这么久干嘛？答案是你以一定的概率会活到最后，所以再算一个期望损失，再接着权衡，也是会消灭它的。
我们看看什么样的文明会选择消灭。
我画了一个直观的图。当然这是高度简化的，当一个文明被暴露的时候，另一个文明A要选择要不要消灭它。消灭就走D，不消灭就走ND。无论选什么，这个被暴露的文明都以一定的概率发生技术爆炸，我们假设这个文明技术爆炸到可以和A进行生存竞争并淘汰掉A的概率为p，被A淘汰掉的概率为1-p。
A如果消灭它，支付的成本是C。如果消灭了他，A生存下来因此获得效用1，再减去成本C；如果不消灭它，被他淘汰的支付是0，把它淘汰的支付是1,。可以看到这是一个固定支付1-c，以及随机支付0或者1之间的权衡。
这时候我们看A如何选择，这取决于它的期望支付。
容易知道，A选择D的期望收益为1-C，选择ND的收益为1-P，因此有：
命题 1 ：刘慈欣的「黑暗森林法则」成立的前提是 C 小于 P ，也就是消灭的成本足够小，或者技术爆炸的可能性足够大。
有趣的是，这两个条件在书中都有特别重要的强调。
首先，从消灭成本上看，书中对每一次毁灭都强调「成本低」。地球人为了试验黑暗森林法则而消灭的一个星球以及三体文明的母星，都受到了「光粒打击」，也就是发射光粒催动这个星系的恒星打击，之所以这样就是因为成本低，这也是地球应对打击进行一系列活动的前提；而地球被消灭是受到了「二项箔」打击，这种方法也被强调，虽然容易带来宇宙维度的降低，但因为成本低所以大家都在使用。
其次，技术爆炸的可能性不但促成了黑暗森林法则的成立，也带来一个「解套」的策略，也就是释放善意信号的策略。这个策略就是把整个星系变成一个「黑域」，光无法逃逸出去。这样做的目的不是为了隐藏自己，而是由于黑域内的一切都无法超越光速，所以技术被锁死了，一个被锁死的文明，相当于P收敛到0，自然就不构成威胁，因此消灭它纯粹是浪费成本了，就不会被消灭。这就是「善意信号」的释放。
把这个简单的框架推广到多个文明多个时期，容易出现以下问题：
第一、缔约的可能性 ，两个文明为了对抗更强大的文明选择缔约，然而我们上文已经说过，如果给定其他文明一定会消灭暴露的文明，缔约也就成了白费力气，所以任何文明不会改变「消灭」这个策略；
第二、搭便车 ，也就是既然总有人消灭它，我就可以不去消灭了，对于这个问题，有可能的情况是一个「智猪博弈」，也就是能力最高的文明一定会消灭，能力低的文明可以搭便车，然而这里的问题是，大家都不知道宇宙中有没有其他文明，有多少，也不能对技术的分布有一个概率上的认识，甚至不知道自己在技术分布中的位置，但是由于宇宙如此之大，任何一个小概率事件发生的可能性都收敛到1，而生存与否的大事应该是尽量减少风险，所以黑暗森林法则应该是稳健的。
我们再做一个练习，看看所谓的威慑纪元的问题。这里需要引入另外一个概念，叫子博弈完美均衡。
在小说中，三体文明想要侵略地球，然而地球人发现了黑暗森林法则，从而对三体文明构成了一个威胁：如果你来侵略我，我就会把你的坐标发布出去（于此同时地球的坐标也被暴露了，从而同归于尽），这构成了对三体文明的威慑，这就是所谓的「威慑纪元」的开始。
威慑纪元持续和很多年，直到发射坐标的权利结交给下一任的几秒之后。 奇怪的并不是它结束得如此之快，而是它竟然结束得如此之慢。 因为这个威慑并不是可置信的。果然，在三体文明摧毁地球发射装置的间隙，主角程心仍然没有暴露三体文明的坐标。
这里有一个动态博弈，首先三体文明选择入侵不入侵，然后地球文明选择暴露不暴露，这个博弈就如同新企业进入的博弈。如果地球暴露了三体的坐标，二者同归于尽，如果地球不暴露的话，三体文明如果入侵，就比不入侵强，于此同时，地球被占领也比直接被消灭强（在小说中三体文明占领地球之后会把所有人类赶到澳大利亚，并没有赶尽杀绝），我们给支付赋予一定的值使其不失去上述偏好的顺序。
上图刻画了这个博弈。参与人T和E分别代表三体文明和地球文明，T的策略包括I（入侵）和NI（不入侵），E的策略包括S（释放坐标信号）和NS（不释放）。如果地球释放了信号，二者的坐标都会暴露，因此同归于尽，支付为0。如果地球不释放信号，三体入侵的话他们只能被赶到澳大利亚，所以支付为0.1，如果不入侵他们的支付是1。对三体星来说，入侵当然比不入侵好，所以支付分别为2和0.5。
容易知道，地球（S,NS），三体NI是一个纳什均衡，也就是地球选择：在三体入侵的时候释放信号，在三体不入侵的时候不释放信号，三体选择：不入侵。这也就构成了书中描述的「威慑纪元」。
但这个均衡是子博弈完美的吗？这个博弈有三个子博弈，其中后两个，也就是在E的节点之后的子博弈，这个策略在这俩子博弈上还是最优的吗？
容易知道，这个均衡不是子博弈上最优的的，因为一旦三体选择了I，在这个子博弈下，地球的最优反应是NS，去澳大利亚总比被摧毁好。所以，唯一的子博弈精炼均衡是地球无论如何都不释放信号，三体入侵。
我想之所以能够维持威慑纪元，一个可能是以前的坐标发射权持有者逻辑，是一个有点让人摸不着头脑的人，不是正常人，三体文明忌惮他的不按常理出牌，他的非理性可能会带来它们的毁灭。总之，有：
命题2 ：地球对三体文明的威慑构成纳什均衡，但不是子博弈完美纳什均衡，因此是不可置信的威胁。
最后我们讨论一个关于黑域是不是可置信承诺的问题。这里引入不完全信息均衡，这个均衡要求参与人对参与人类型形成某种信念，而均衡和信念是一致的。
上文已经提到，任何一个被暴露的坐标都被看做是威胁，恶意的存在，那么，存在一个善意的信号，让其他文明一看就知道这不是威胁，从而不去消灭吗？刘慈欣认为是存在，也就是制造一个「黑域」，这就如同一个巨大的黑洞，光无法从中逃逸。当然，黑域之所以是善意的，不是因为隐藏了自己的身份，认识放弃了超光速的可能性，从而锁死了技术。换句话说，所谓的善意信号，就是证明我不会再以后的生存竞争中威胁到你，那么你自然也就不用费心思现在就消灭我，让我自然被淘汰就好了。
在这里做一个小小的引申，设想一个神级文明，如果它不小心暴露了，他会不会锁死自己的技术来保全自己呢？答案是不会，如果它的能力足够大，就不怕被消灭掉，锁死了技术反而使得自己以后被消灭了。因此制造黑域的可能只有技术水平低的文明，或者确切说，认为自己技术爆炸概率低的文明。
问题就是，存在不存在一个分离均衡，只有技术低的文明制造黑域，技术高的文明不制造黑域，并且其他文明具有与之一致的信念，看到黑域就认为你以1的概率是低技术文明并且是没有威胁的，看到没有黑域就认为你以0的概率是低技术文明，从而要消灭你？
这里的问题是，由于宇宙是一个黑暗森林，人们不知道究竟有多少文明，以及自己在技术分布中的位置。在这种情况下，一个均匀分布是最保险的。考虑两种情况：一，所有文明认为其他n-1个文明的技术服从（0,1）的均匀分布；二、所有文明认为其他文明中的技术水平最高的文明服从（0,1）均匀分布，这种情况等价于第一种情况下n=2时。
在本文的第一部分，技术爆炸的可能性越大，被攻击的可能性也越大，然而这个技术爆炸的可能性是「其他」文明认为的你的技术爆炸的可能性，由于其他文明无法直接观测你的情况，所以它只能赋予一个平均的先验概率。至于你真实的技术爆炸水平，应该是和你现有的技术水平正相关的，而你现有的技术水平越大，越不容易被其他文明干掉。所以我们有：
假设 1 ：文明现有的真实技术水平越大，技术爆炸的可能性越大，被其他文明消灭的可能性越小，而文明真实的技术水平不影响其他文明对其技术水平的先验信念。
假设 2 ：黑暗森林法则成立，任何暴露的文明都会被攻击，并且当其他文明的技术水平超过本文明的时候，才可以消灭本文明。
由于输入公式麻烦，我这下边直接从word截图，请见谅。
其含义是直观的：这是一个以小于1的概率获得两期的收益，和以固定为1的概率获得一期收益的trade-off。技术水平低的文明，获得第二期收益的概率（技术爆炸的概率）也较低，从而宁可以1的概率只获得一期收益，而技术水平高的文明则不愿意这样。这时技术水平低的文明以锁死技术发展为代价残存一段时间，而技术水平高的文明以第一阶段的风险为代价，进入生存竞争阶段。从而前者制造黑域，后者不制造，实现了分离均衡，同时这个均衡和其他文明的信念是一致的。
这里很容易可以算出来，门限是0,618（黄金分隔数！），当低技能的分布在（0,0.618）高技能分布在（0.618,1）的时候，分离均衡存在。
命题 3 ：黑暗森林法则成立的前提下，当两种文明的技术被黄金分割比例分开的时候，分离均衡存在，黑域是可置信的善意信号。
如此巧妙的结果让我相信我发现了宇宙的真理。
