谢不邀。
当然是有的,但是这要求你给的这一组函数满足一些条件且是空间的 "完备基" .
(在后文会提到这个完备和通常的完备性有所区别)
我们不妨假设我们有这样一个连续函数组 \{f_n\}=\{f_1,f_2,f_3,...\} 和一个目标函数 A(x) .现在我们期望将 A(x) 展开成 \{f_n\} 的线性表示
A(x)=\sum_{n=1}^{\infty}a_nf_n(x)\\
当然,为了专心的找系数,我们还需要一点额外的假设:
(i) \{f_n\} 完备
(ii) \sum_{n=1}^{\infty}a_nf_n(x) 在区间 (a,b) 上一致收敛到 A(x)
好了,到现在一切该有的都有了,我们要怎么找系数?
类比是最好的方法,我们不妨来看这样一个问题,如何把 1+x+x^2 展开到 \{1,x,x^2\} 上？
你可能会说,这不是在逗我吗?这能一样?当然是一样的.
如果真的要你去算系数,你该怎么算?
当然,方法很多啊,但是有一种最简单的,我们小学就学过的,那就是 插值法 .
我们在 1+x+x^2 上取 3 个以上的点用多项式去插值,就能得到最后的结果.
把这句话做一下替换:
在 A(x) 上取 n 个点用 \{f_n\} 插值.
这就是方法!
下面我们具体来算一下.
将区间 (a,b) 做 n+1 个划分,前 k 个划分长度和记作 \Delta T_k ,第 k 个区间长度记作 \Delta L_k 我们在 n 个点
(a+\Delta T_k,A(a+\Delta T_k))(k=1,2,...,n)\\
上用
\{f_1,f_2,f_3,...,f_n\}\\
做插值.
很快的我们得到 n 个方程
A(a+\Delta T_j)=\sum_{k=1}^na_kf_k(a+\Delta T_j)(j=1,2,3,..,n)\\
写成矩阵形式
\begin{pmatrix} f_1(a+\Delta T) & f_2(a+\Delta T) &... & f_n(a+\Delta T) \\ f_1(a+\Delta T_2) & f_2(a+\Delta T_2) &... & f_n(a+\Delta T_2) \\ &&...\\ f_1(a+\Delta T_n) & f_2(a+\Delta T_n) & ... & f_n(a+\Delta T_n) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2\\ ...\\ a_n \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} A(a+\Delta T_1) \\ A(a+\Delta T_2)\\ ...\\ A(a+\Delta T_n) \end{pmatrix}\\
我们定义方程右端矩阵的逆为如下形式
\frac{2}{b-a}\begin{pmatrix} \varphi_1(a+\Delta T_1)\Delta L_1 & \varphi_1(a+\Delta T_2)\Delta L_2&... & \varphi_1(a+\Delta T_n)\Delta L_n \\ \varphi_2(a+\Delta T_1)\Delta L_2 & \varphi_1(a+\Delta T_2)\Delta L_2&... & \varphi_2(a+\Delta T_n)\Delta L_n \\ &&...\\ \varphi_n(a+\Delta T_1)\Delta L_1 & \varphi_n(a+\Delta T_2)\Delta L_2&... & \varphi_n(a+\Delta T_n)\Delta L_n\end{pmatrix}
当 \max\{\Delta L_k\}\to 0 时我们就得到了一个函数组 \{\varphi_k\} 满足:
\frac{2}{b-a}\int_{a}^{b}f_i\varphi_j\mathbb{d}x=\delta_{ij}\\
而这里如果 \{f_k\} 不完备的话, \{\varphi_k\} 显然不唯一.
最后,我们就可以得到
a_k=\frac{2}{b-a}\int_{a}^{b}\varphi_k(x)A(x)\mathbb{d}x\\
显然 \varphi_k(x) 只由函数组 \{f_k\} 唯一决定.
完了吗?其实还没有,我们还要找到 完备基 .
