正常情况下，我们认为 \tan{x}=\frac{\sin{x}}{\cos{x}} ，它来自于正切函数的定义。
如果以原点为顶点一个任意角 \alpha 的终边交半径为 r 的圆于点 P(x, y) ，那么就有 \sin{\alpha}=\frac{y}{r}, \cos{\alpha}=\frac{x}{r}, \tan{\alpha}=\frac{y}{x} ，于是我们可以直接写出 \tan{\alpha}=\frac{\sin{\alpha}}{\cos{\alpha}} ，这固然没有什么问题，因为 r\neq0 所以我们在约分的时候也不需要有什么顾虑。
为了使函数有意义，必有 \cos{x}\neq0\Rightarrow x\in \{x|x\neq\frac{\pi}{2}+k\pi, k\in \mathbb{Z}\} ，这就是正切函数的定义域。也就是说当我们使用 \tan{x}=\frac{\sin{x}}{\cos{x}} 这个公式的时候，就已经承认了 x 属于这个定义域，否则写出来就没有任何意义。因此，如果我们直接两边同乘一个 \cos{x} ，约分得到 \tan{x}\cos{x}=\sin{x} ，这个时候的 x 也应当属于这个定义域。
然而真正的正弦函数的定义域却是 \mathbb{R} ，这意味着你得到的这个正弦函数虽然也长成 \sin{x} 这个样子，但从定义域的角度去考虑，它并不是我们日常所提及的「标准」正弦函数。也正因此，你不能再在这个「假」的正弦函数上再做「标准」正弦函数的文章。
