在实际生活中随机找一个数，这个数是1开头的概率是多少呢？
正常人的回答估计都是1/9，我的第一反应也是1/9
但实际上这个概率是lg2，约为30.1%
我后面的反应是 怎么会这么高？数学是不是又在搞什么故弄玄虚？
但它确实是这样
这就是首位数定律，也叫本福特定律
它的数学表述为：在b进位制中，以数n起头的数出现的机率为 log_b(n+1)-log_bn
在十进制中首位数出现的概率分别为：
1，30.1%
2，17.6%
3，12.5%
4，9.7%
5，7.9%
6，6.7%
7，5.8%
8，5.1%
9，4.6%
简单的解释是：从1数到10， 1 2 3 4 …… 10，以1开头的数字有2个，概率20%
从1数到20，1 2 3 …… 10 11 12 ……20，以1开头的数字有11个，概率55%
从1数到30，1 2 3 …… 30，以1开头的数字有11个，概率36.7%
……
从1数到100，以1开头的数字有12个，概率12%
……
法兰克·本福特通过计算得出以1开头的数字出现的概率为lg2，并总结出了上述规律。
严格的证明参见Hill, T. P. "A Statistical Derivation of the Significant-Digit Law." Stat. Sci. 10, 354-363, 1996.
它的适用范围异常的广泛，几乎所有日常生活中没有人为规则的统计数据都满足这个定律。比如说世界各国人口数量、各国国土面积、账本、物理化学常数、数学物理课本后面的答案、放射性半衰期等等。统计物理中的三个重要分布，Boltzmann-Gibbs分布，Bose-Einstein分布，Fermi-Dirac分布，也基本上满足这个定律。
这个定律有什么用呢？
一个非常著名的案例就是安然公司的造假案。2001年，美国最大的能源交易商安然公司宣布破产，并传出公司高层管理人员涉嫌做假账的传闻。据说安然高层改动过财务数据，因为他们所公布的2001-2002年每股盈利数据不符合本福特定律。
所以以后你们改实验数据、报假账什么的都要当心了
