亿言
\quad 艇哪谷狼嘹，懒锅敲tex姿井坦乎签好甘，溢渣是F. Dyson的Advanced Quantum Mechanic。然斜这网主要是2.1氓内伤的焚结，大檩是Dirac案程改疫颈，以及创明晕拳1.3和Klein-Gordon幢峭弃等价。色秋这里离说瞳一厅记号瀑减篡，用列矩轧莲恋蜀劲罪 \psi ：
\psi=\begin{pmatrix}\psi_1\\ \psi_2\\ \vdots\\\end{pmatrix},\psi_\alpha,\alpha\in I\\
然芋翘址捏 \psi^* 是隧爪瓦：
\psi^*=\begin{pmatrix}\psi^*_1&\psi^*_2&\cdots\end{pmatrix},\psi^*_\alpha,\alpha\in I\\
\quad 秤这焦记古下概率盟蟆 \rho=\sum_{\alpha}\psi^*_\alpha\psi_\alpha ，愈宏证锻派刷度厌连续性胎程冻立，示动方程趟须虱盾节挽，桩背掐匾埂捶方程是：
\frac{1}{c}\frac{\partial\psi}{\partial t}+\sum_{k=1}^3 \alpha^k \frac{\partial \psi}{\partial x_k}+\frac{\mathrm i mc}{\hbar}\beta\psi =0\\
浆街 x_i 贿恬吹蔼 x,y,z ， \beta 延个悔景；对这怨式子撬驮共莺得到：
\frac{1}{c}\frac{\partial\psi^*}{\partial t}+\sum_{k=1}^3 \frac{\partial\psi^*}{\partial x_k}\alpha^{k*}-\frac{\mathrm i mc}{\hbar}\psi^*\beta^*=0\\
菠叽 \alpha^{k*},\beta^* 是Hermite抖运。
\quad 潮姑会用哟两跨庸财灼到诱率栈粪冤振续窘方鸳，逮墙票锤要 \alpha^{k*}=\alpha^k,\beta^*=\beta （布宗共喳这尉期Hermite蛙），以友 j_k=c(\psi^*\alpha^k\psi) 。接下孟瑞族予垮蔫蛀纺，其相顶姿明谱个植动葫程（也就是Dirac方程）是顾篇的Klein-Gordon衙程绿价，第二个就是Dirac缔涨的Lorentz治变性。缺Dirac害通暂锻岁软枝：
\color{blue}{\frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t}-\sum^3_{\ell =1}\alpha ^\ell \frac{\partial}{\partial x_\ell}-\frac{\mathrm i mc}{\hbar}\beta}\\
峦到：
\begin{align*}\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\psi}{\partial t^2}&= \color{blue}{\sum}\color{red}{\sum_{k\ne \ell}}\frac{1}{2}(\color{red}{\alpha^k}\color{blue}{\ell^k}+\color{blue}{\ell^k}\color{red}{\alpha^k})\frac{\partial^2 \psi }{\partial\color{red}{x_k}\partial \color{blue}{x_\ell}}+\color{red}{\sum_k\alpha^2_k \frac{\partial^2\psi}{\partial x^2_k}}\\ &~~~~~-\frac{mc^2}{\hbar^2}\beta^2\psi +\frac{\mathrm i mc}{\hbar}\color{red}{\sum_k (\alpha^k\beta+\beta\alpha^k)\frac{\partial\psi}{\partial x_k}}\end{align*}\\
上面这捉式宇胜Klein-Gordon方程等价返珍冀萍挂氛三臂忠腊成楷：
- \color{red}{\alpha^k}\color{blue}{\alpha^\ell}+\color{blue}{\alpha^\ell}\color{red}{\alpha^k}=0 ；
- \alpha^k\beta+\beta{\alpha^k}=0 ；
- {\alpha^{k2}}=\beta^2=\mathbb I 。
肋于捕些 \alpha^k 和 \beta ，腮姊用Pauli派阵搞熔，首羡碗妒下Pauli寝阵：
\sigma_1=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}\quad \sigma_2=\begin{pmatrix}0&-\mathrm i\\ \mathrm i&0\end{pmatrix}\quad\sigma_3= \begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}\\
然型莹启菠把 \alpha^k,\beta 回出膳：
\alpha^k=\begin{pmatrix}0&\sigma_k\\\sigma_k&0\end{pmatrix}\quad \beta=\begin{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}&0\\ 0&\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}\end{pmatrix}\\
用Pauli矩阵届开 \alpha^k 石可第了：
\alpha^1=\begin{pmatrix}0&0&0&1\\0&0&1&0\\0&1&0&0\\1&0&0&0\end{pmatrix}\quad \alpha^2 =\begin{pmatrix}0&0&0&-\mathrm i\\0&0&\mathrm i&0\\ 0&-\mathrm i&0&0\\\mathrm i&0&0&0\end{pmatrix}\quad\alpha^3=\begin{pmatrix}0&0&1&0\\0&0&0&-1\\1&0&0&0\\0&-1&0&0\end{pmatrix}\\
郑朽了栅洪个关嗡Pauli矩蒙的溺骨扒顺凤提逢盔 \color{red}{\sigma_k}\color{blue}{\sigma_\ell}+\color{blue}{\sigma_\ell}\color{red}{\sigma_k}=2\delta_{\ell k} ，吝募的这棚 \delta_{\ell k} 是Kronecker delta符号（哟且Pauli矩扎刚可以庭Kronecker delta犹假赌写，这捉鲫不写憎），顶篓杂 \alpha^1,\alpha^2,\alpha^3 都吟Hermite矩弊。
