L^{\infty}(U) 是定义在 U 上有上确界 (严格来说其实是supessentiel) 函数空间;
W^{1,n}(U) = \left\{f : \sum_{i=0}^n \left|f^{(i)}\right|\in L^1(U)\right\} , u \in W^{1,n}(U) 只能在一定程度上说明函数的性质, 并不能确定它有界.
书中这个例子 (算起来好麻烦的...) 显然不是有界的, 所以 u\notin L^{\infty}(U) .
\begin{array}{ll} \int_U |u|\text{d}x & = 2\lim_{\alpha\to 0}\int_{\alpha}^1 \log\log\left(1+\frac{1}{x}\right)\text{d}x\\ & = 2\lim_{\alpha\to 0}\left[x\log\log\left(1+\frac{1}{x}\right)\right]_{\alpha}^1 + \int_\alpha^1\frac{1}{(x+1)\log\left(1+\frac{1}{x}\right)}\text{d}x \end{array}
第一项显然有界, 第二项中被积部分也显然有界, 所以 u\in L^1(U) .
后边, 就是继续算 u 的若干次导数还属于 L^1(U) 就行了.
希望我没理解错, 如果错了的话请帮忙指正, 之后我会来改的...
顺带, 我去找了原书 : Partial Differential Equations: Second Edition, Lawrence C. Evans
可以在以下地质找到电子版 : http:// home.ustc.edu.cn/~xushi jie/pdf/textbooks/pde-evans.pdf
