因为
\begin{align*} \sqrt {10+\sqrt k}-\sqrt {10-\sqrt k}&=\sqrt {20-2\sqrt {10+\sqrt k}\sqrt {10-\sqrt k}}\\ &=\sqrt 2\sqrt {10-\sqrt {100-k}}, \end{align*}
所以
\begin{align*} &\text{原式}-1\\ ={}&\frac {\sqrt {10+\sqrt 1}-\sqrt {10-\sqrt 1}+\sqrt {10+\sqrt 2}-\sqrt {10-\sqrt 2}+\cdots +\sqrt {10+\sqrt {99}}-\sqrt {10-\sqrt {99}}}{\sqrt {10-\sqrt 1}+\sqrt {10-\sqrt 2}+\cdots +\sqrt {10-\sqrt {99}}}\\ ={}&\frac {\sqrt 2\sqrt {10-\sqrt {99}}+\sqrt 2\sqrt {10-\sqrt {98}}+\cdots +\sqrt 2\sqrt {10-\sqrt 1}}{\sqrt {10-\sqrt 1}+\sqrt {10-\sqrt 2}+\cdots +\sqrt {10-\sqrt {99}}}\\ ={}&\sqrt 2, \end{align*}
即 原式 = 1+\sqrt 2 。
