看到这个问题，首先想到的是 Jordan 曲线定理，然而这个定理的证明超过了绝大多数情况下的本科水平。如果想要找一个符合问题且不是太难的，我选择 Cauchy 积分定理 。
复变函数课上已经强调过复可微是一个很强的性质。设 u,v 是二维区域 D 上的函数，复变函数 f\left(x+\mathrm iy\right)=u\left(x,y\right)+\mathrm iv\left(x,y\right), 则 f 可微的充要条件是 u,v 可微，且
\frac{\partial u\left(x,y\right)}{\partial x}=\frac{\partial v\left(x,y\right)}{\partial y},\quad\frac{\partial v\left(x,y\right)}{\partial x}=-\frac{\partial u\left(x,y\right)}{\partial y}.
称上面的方程为 Cauchy-Riemann 方程。任何一个复变函数都可以表示成这样的形式，于是以上表明复可微远比多元函数的可微更强。
有了以上的背景知识，叙述 Cauchy 积分定理。设 f 是单连通复区域 D 上可微的复变函数， \gamma 是 D 上逐段光滑的简单闭曲线，则
\int_\gamma f\left(z\right)\mathrm dz=0.
为什么说这个结论一看就觉得是对的？因为复积分可以转化为第二型曲线积分
\begin{align}&\int_\gamma f\left(z\right)\mathrm dz=\left(\int_\gamma u\left(x,y\right)\mathrm dx-v\left(x,y\right)\mathrm dy\right)+\\&\qquad\mathrm i\left(\int_\gamma v\left(x,y\right)\mathrm dx+u\left(x,y\right)\mathrm dy\right).\end{align}
再利用 Green 公式得到
\begin{align}&\int_\gamma f\left(z\right)\mathrm dz=\int_\gamma\left(-\frac{\partial v\left(x,y\right)}{\partial x}-\frac{\partial u\left(x,y\right)}{\partial y}\right)+\\&\qquad\mathrm i\int_\gamma\left(\frac{\partial u\left(x,y\right)}{\partial x}-\frac{\partial v\left(x,y\right)}{\partial y}\right).\end{align}
直接由 Cauchy-Riemann 方程得到结论。
然而请你注意，Green 公式的适用条件是 u,v 连续可微 ，而在 Cauchy-Riemann 方程中只要求 u,v 可微 ，所以上面的推导不能证明结论。
在数学分析中，我们知道从可微推不出连续可微。但是复可微的性质远比实可微好，能否从复可微推出复连续可微呢？
更进一步的理论指出，复区域上的复变函数可微的充要条件是处处可以展开成幂级数，即对于任意 z_0\in D, 存在 r\in\left(0,+\infty\right), 使得 f 在圆盘 \left\{z:\left|z-z_0\right|<r\right\} 上可以表示为
f\left(z\right)=\sum_{n=0}^\infty a_n\left(z-z_0\right)^n.
由幂级数的逐项求导可知可微必光滑。但是这个结论的证明依赖于 Cauchy 积分公式，而 Cauchy 积分公式是 Cauchy 积分定理的推论。不能循环论证。
事实上，为了证明 Cauchy 定理，必须放弃原先用二元函数表达复变函数，将复变函数问题转化成数学分析问题的方法，完全使用复变函数的方法。以下只介绍证明的思路。
可知 f 在一个包含 \gamma 的区域上一致连续。取 \gamma 的分割，当分割足够细时，可以使以分点为顶点的内接多边形完全含于这个区域，且 f 在 \gamma 上的积分与在内接多边形上的积分之差的模可以任意小。
内接多边形区域总是可以被分解成一些三角形区域，且 f 在内接多边形上的积分等于在这些三角形上的积分之和。
连接三角形的三边中点，可以将三角形分成四个小三角形，且 f 在三角形上的积分等于在四个小三角形上的积分之和，选择积分的模最大的那个小三角形。这样的操作可以持续下去，存在唯一的属于每次操作得到的小三角形的点。利用 f 在此点处的可微性，控制积分上界。
