深夜睡不着来答题. 这道题考察的其实就是 B-W 定理(列紧性)的应用. 絮叨一点的说, 题目要求找到的是一个统一的脚标序列, 使得用该脚标选出的函数列在 E 上有极限(逐点收敛).
下面我写的详细一点, 实际证明不要写这么多......,题主自己整理一下吧.
依据题意, 首先有 \forall x \in E\subset [a,b] , |f_{\alpha}(x)|\leq M .
E 是一个可数集, 不妨设 E = \{x_1,\cdots,x_m,\dots\} , 我们这样来构造需要的脚标序列.
首先, 对于 x_1 , 由 |f_{\alpha}(x_1)|\leq M , 根据 B-W 定理, 存在收敛的子列, 相应的脚标序列记为 \{\alpha_{n}^{1}\}_{n=1}^{\infty} ;
接着, 对于这个脚标序列选出的函数列, 以及 x_2 , 我们由 |f_{\alpha_{n}^{1}}(x_2)|\leq M , 根据 B-W 定理, 存在收敛的子列, 相应的脚标序列记为 \{\alpha_{n}^{2}\}_{n=1}^{\infty} ;
以上这个过程可以不断重复, 每一次我们选出的脚标, 画成一个列表看就是下面这样的:
\begin{matrix} \alpha_{1}^{1}& \alpha_{2}^{1} &\cdots & \alpha_{n}^{1} & \cdots\\ \alpha_{1}^{2}& \alpha_{2}^{2} &\cdots & \alpha_{n}^{2} & \cdots\\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ \alpha_{1}^{m}& \alpha_{2}^{m} &\cdots & \alpha_{n}^{m} & \cdots\\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ \end{matrix}
其中, 从第二行开始, 每一行都是上一行的子列.
那么按照左上到右下的对角线, 取脚标序列, 这就是我们需要的这个统一的脚标序列. 另外, E 如果是有限可数的, 那么就取最后一次操作得到的子列, 就可以了.
这道题也就证明完成了.
