先從簡單的情況開始:
1.當曼哈頓距離為1時,先手必勝。(廢話)
2.當曼哈頓距離為2時,後手必勝。分兩種情況:
第一種,口字對角。可以看出,先手只能向另外兩個方向移動,而後手只需和先手行動完全一致,則一定可以將其逼到死角;
第二種,直著兩格。此時先手有三個方向選擇。若選擇兩側,則變為口字對角;若選擇遠離,則後手跟上一步。次時雖然還是直著兩格,但先手距離所在方向的底線距離變小了,因此總能退到邊上。
3.當曼哈頓距離為3時,先手必勝。因為先手一定可以移動一格後變為曼哈頓距離為2的情況。
猜想:當曼哈頓距離為2k+1,k為自然數時,先手必勝。
證明:當k=0,1時,命題成立。假設對所有小於n的k都成立,當k=n+1時,記無論x還是y方向都與後手在先手同一側的一點為P(座標相同也算,顯然存在)。先手移動使得距離P與後手的曼哈頓距離均-1,此時後手有三種選擇:
第一,與先手移動方向相同。則距離P點距離-1;
第二,與先手移動距離相反,或與先手移動距離垂直且靠近先手。此時與先手的曼哈頓距離變為2k-1=2n+1,由歸納條件,此時先手必勝;
第三,與先手移動距離垂直,且遠離先手。此時距離P的曼哈頓距離-1.
故每次行動後,後手與P點距離減小或變為先手必勝情況至少有一件發生,且與P點距離有下限0,由歸納原理,命題得證。
又因為任意一方行動後,曼哈頓距離的奇偶性一定改變,因此當曼哈頓距離為偶數時,先手必敗。
(非常有意思的是,這個遊戲的必勝方可以選擇始終不贏,但卻連想輸都沒法輸。)