考慮一個二階系統 ma+cv+kx = \tau 。進行反饋控制 \tau_{input} = k_x x ，得到 ma+cv+kx = k_x x ,即 ma+cv+kx = (k_x-k) x ,記為 ma+cv = k_{sys} （x-0）
參考
可知，若 k_{sys} 小於0，則該式右側定義了一個剛度為 k_{sys} ，原點為0的彈簧，右側表達了動態響應，穩態情況下應當趨於零。因此，在該式的控制下，系統終將到達0，如下圖所示（本文所有的彈簧的原始長度均為0）
假設此時出現了一個物體，如下圖所示
在小球趨近0的時候，會碰在物體上，假設物體的剛度為k，得到彈力為 \tau = k_{env}*(x-x_{env}) ,同樣的，根據上面參考的文章，該式定義了一個剛度為 k_{env} ，原點為 x_{env} 的彈簧，如下圖所示
則小球最終將在兩個原點之間平衡，具體位置取決於兩個彈簧的剛度。
繼續考慮二階系統 ma+cv+kx = \tau ，將該式中的tau分解為輸入力和環境外力，得到 ma+cv+kx = \tau_{input} + \tau_{env} ,根據上述描述可以知道，由於有 \tau_{env} 的存在，x無法到達0。為了達到零，有三種方法：
- 增大 k_x ,使得上述兩個彈簧的平衡點接近於0。
- 輸入力計算中添加積分環節，對x進行積分，如果x不最終達到0，則輸入力會一直增大，不斷將物體向0拉近，最終平衡位置只能在0，否則輸入力會一直增大，不可能穩定
- 對環境力進行補償，輸入力矩設定為 \tau_{input} = k_x x- \tau_{env} ,這樣的話系統的整體表達為 ma+cv+kx = k_x x ，最終趨於0。
三種方式各有優劣，這裏暫時不一一列舉。但是需要知道的是，機器人一般都需要有精準的定位能力，因此機器人控制的目標一定是使物體到達0（或者其他設定的目標）
以上三種方法的一個直接結果就是，系統的輸入力矩會非常大，至少要和環境力矩平衡。可以考慮我們給機器人發送指令，要求機器人到達0，但是在機器人和0之間有一堵墻，機器人撞到墻上的情況，機器人無法提供如此大的力矩，損壞或報錯，而且無法到達0.
既然機器人無法到達0，那麽我們就需要對機器人采用不同的控制方式。這裏為了方便描述，我們采用上述的對環境力進行補償的方法來說明問題。
在這種控制方式下，輸入力矩設定為 \tau_{input} = k_x x- \tau_{env} ，外力被完全補償，系統的整體表達為 ma+cv+kx = k_x x 。為了考慮環境外力，我們就需要主動「添加」環境力進來，使得系統整體描述為 ma+cv+kx = k_x x + k_f \tau_{env} , 這樣的話系統的輸入力矩就變為了 \tau_{input} = k_x x + k_f \tau_{env}- \tau_{env} .這種情況下，仍考慮 \tau_{env} = k_{env}*(x-x_{env}) ，得到
ma+cv+kx = k_x x +k_f k_{env}*(x-x_{env}) = k_{sys}x+k_f k_{env}*(x-x_{env}) ,
又回到上面的情況，只是環境剛度得到了修改。
以上便得到了阻抗控制的表達： \tau_{input} = k_x x + k_f \tau_{env}- \tau_{env} 。這是最簡單的表達，亦即剛度控制的表達，可以在該公式中添加其他計畫（如v和a），進行更加豐富的控制，但是總的意義是一致的。
以上討論中，我們預設假設了Ksys，Kenv，Kf*Kenv為負，因此表達為一個彈簧（重力中心）。
當Ksys<0,Kf*Kenv<0時，二者都表現為重力彈簧，系統最終穩定在0和Xenv之間。另一種情況是Ksys>0,Kf*Kenv>0，二者均表現為斥力中心,此時系統仍有可能平衡在0和Xenv之間，但是一旦系統位置位於0和Xenv之外，則所受到的合力將使系統向無限遠移動，而不是二者之間的平衡位置。
當Ksys>0,Kf*Kenv<0時,0處表現為一個斥力中心，Xenv處表現為一個重力中心，則系統最終位於Xenv外，在某些情況下，由於斥力會一直大於重力，則系統趨近於無窮遠。
同樣的，當Ksys<0,Kf*Kenv>0時,則系統最終位於0外，在某些情況下，由於斥力會一直大於重力，則系統趨近於無窮遠。。
取一個理想加速度控制系統，其m=1,c=0,k=0。阻抗控制描述同上描述為 \tau_{input} = k_x x + k_f \tau_{env}- \tau_{env} 。為了讓系統保持穩定，則必須做到Kx<0,Kf>0。
事實上，穩定位置滿足 k_{sys}*x + k_f k_{env}(x-x_{env}) = 0 ,得到 x_{bal} = \frac{k_fk_{env}}{k_{sys}+k_fk_{env}}x_{env} 這裏取 x_{env} = 1 ,橫軸表示Ksys，縱軸表示Kf*Kenv，得到平衡位置如圖所示
取一個理想加速度控制系統，其m=1,c=0,k=-1。環境剛度位k=-1000，如上繪圖，得到
由於Kenv比較大，所以平衡位置基本都是在1左右。當y在0附近時，可能導致Ksys=Kf*Kenv，會引起系統響應的較大變化。
在樓上的試驗台中，為什麽會出現推機器人，但是機器人卻向手沖過來的情況呢？最重要的原因是定義力的方向和定義位置的方向相反！
