矩陣思維是什麽意思？

2022-01-06知識

矩陣思維是個貶義詞, 毒害了巨量的大腦

線性空間與插好了標準正交基的線性空間, 可不是一回事兒:

師門內戰之物理人的撈仔矩陣思維:

老板『你那個 tilde 是啥? 』

師弟『是旋量空間的轉置. 』

老板『那你為啥不直接寫轉置? 這看著多別扭啊. 』

師弟『轉置符號留給色空間的轉置用了. 』

我『對, 必須要這樣做區分. 』

老板、師兄 A『什麽意思? 』

我走到白板前, 執起筆.

我『你們平時寫的那種旋量空間的轉置跟厄米共軛裏的轉置就不是一回事. 』

師兄 B『厄米共軛不就是轉置加共軛? 』

我『可以看看下面這倆例子. 』

(1). 對雙線性協變量做荷共軛變換:
U_{C}^{\dagger }\bar{\psi }\psi {{U}_{C}}={{\psi }^{{\rm{T}}}}CC{{{\bar{\psi }}}^{{\rm{T}}}}=-{{\psi }^{{\rm{T}}}}{{{\bar{\psi }}}^{{\rm{T}}}}={{\left( \bar{\psi }\psi \right)}^{{\rm{T}}}}=\bar{\psi }\psi .
其中 C=\text{i}{{\gamma }^{2}}{{\gamma }^{0}} , 這裏忽略了費米子場交換產生的無窮大.
(2). 對雙線性協變量做厄米共軛:
{{\left( \bar{\psi }\psi \right)}^{\dagger }}={{\psi }^{\dagger }}{{{\bar{\psi }}}^{\dagger }}.

我『既然都是轉置引起的位置對調, 那為啥上面的出個負號下面的卻沒有呢? 』

師兄 A『上面的真的會有負號出來嗎? 』

我『 \bar{\psi }\psi 的 C 宇稱總不能是負的吧? 』

老板『那下面的應該也要添一個負號, 你把 {{\gamma }^{0}} 寫出來看看. 』

小老板『這個是厄米的吧? 』

{{\left( \bar{\psi }\psi \right)}^{\dagger }}={{\psi }^{\dagger }}{{{\bar{\psi }}}^{\dagger }}={{\psi }^{\dagger }}{{\gamma }^{0\dagger }}{{\left( {{\psi }^{\dagger }} \right)}^{\dagger }}={{\psi }^{\dagger }}{{\gamma }^{0}}\psi =\bar{\psi }\psi.

老板『噢, 那下面這個確實不能有負號出來··· 』

師兄 A『這··· 』

我『其實這個轉置本身就是不存在的, 你寫成分量的形式就全清楚了. 』

{{\psi }^{\text{T}}}{{{\bar{\psi }}}^{\text{T}}}\to {{\left( {{\psi }^{\text{T}}} \right)}_{a}}{{\left( {{{\bar{\psi }}}^{\text{T}}} \right)}^{a}}={{\psi }^{a}}{{{\bar{\psi }}}_{a}}=-{{{\bar{\psi }}}_{a}}{{\psi }^{a}}\to -\bar{\psi }\psi.

師兄 B『哇, 那平時計算還真得小心一點兒了. 』

師兄 A『這種特殊情況見一個記一個就好了, 沒必要扣這麽細. 』

我『主要就是轉置是一個線性空間裏的矩陣上的操作, 但單說轉置不指明是哪個空間上的轉置就會造成這些問題, 後面的厄米共軛是作用在 Hilbert 空間上的, 情況完全不同. 』

小老板『那把場算符展開成產生湮滅算符應該就能看清楚了吧? 』

師兄 C『是的, 這個轉置是作用在旋量系數上的, 不是產生湮滅算符上的. 』

我『所以我說要分清楚討論的空間, 因為從 {{\left( \bar{\psi }\psi \right)}^{\dagger }} 到 {{\psi }^{\dagger }}{{{\bar{\psi }}}^{\dagger }} 或許並沒有調轉兩個場算符的位置, 而只是寫出了算符式 \bar{\psi }\psi 在 Hilbert 空間中的伴隨式 {{\psi }^{\dagger }}{{{\bar{\psi }}}^{\dagger }} 所以不會有反對易負號. 』

師弟『嗯, 所以我覺得就旋量空間和色空間的轉置要分開標記. 』

師兄 A『沒必要的. 』

我『那平時你們寫的誇克傳播子 \langle \Omega |{\sf{T}}\left( {{\rm q}_i^{\rm{T}} \otimes \bar {\rm q}_j^{\rm{T}}} \right)\left| \Omega \right\rangle 是記作 \text{i}S_{ij}^{\text{T}} 還是記作 \text{i}S_{ji}^{\text{T}} 呢? 前者說明這個轉置只是旋量空間的轉置, 而後者會連同色空間一起轉置. 』

師兄 A『傳播子是旋量空間的矩陣嗎? 』

我『那當然是. 』

師兄 A『噢, 那確實是. 』

師兄 D『你聽得懂他們在講什麽嗎? 』

師兄 A『我反正不想搞這個, 吃飯去了. 』

師兄 A 平時還算能處, 但是一談到這些數學細節就會上頭. 他認為很多東西記住就行了, 談得太細太 general 太偏數學就純粹是浪費精力. 他選擇離開是對的, 因為從這個氣氛來看再討論下去可能會發展成世仇. 其實他的觀點也是對的, 如果把精力都放在工作上的話.

老板 ^[1] 的脾氣好責任感也強, 算是領域裏的牛人吧. 但其實他也比較討厭這類話題, 他認為只要能算對且把握住物理影像上的 insight 就足夠了, 所以多次試圖透過講故事的手法去傳達一種如果繼續糾結這些最後會變得不幸之類的來嚇唬我··· 就是說雖然每次我提出來以後他還是忍不住要幫我分析一陣兒, 但完事兒後通常還是會頻繁或強烈地暗示我只要能算對就別看數學糾結場論了.

搞得我學點兒偏數學的東西還得背地裏偷偷學, 因為在他們看來, 搞這些東西可能比打電動還過分: 打電動起碼還能放松一下, 搞這些屬於是即耗費精力又對物理無實際用途. 幸好學院裏有其他喜歡討論這些東西的教授 ^[2] 願意跟我談這些.

但我一開始是理解不了為啥會這麽上頭的, 為啥討論起來像是在談論什麽禁忌一般?

我『所以我說矩陣是一個很糟糕的記號, 最初旋量就不應該被記作列矩陣, 如果要這麽做的話也一定要記清楚這個簡寫意味著什麽. 其實這也並不是什麽旋量空間, 就純粹是一個為了利用矩陣乘法來簡化計算過程的簡記形式罷了. 』

某師兄弟『肯定要寫成矩陣. 』

我『矩陣根本表意不清, 很多時候寫成矩陣只會導致對易關系混亂. 』

某師兄弟『必須寫成矩陣. 』

我『那三個指標的你怎麽寫成矩陣? 』

某師兄弟『三個指標的就是一個立體的矩陣··· 』

我『這根本不具有可操作性, 而且矩陣符號本身就會損失一些張量積的資訊. 』

某師兄弟『那只是因為你是三維生物, 四維生物就覺得很自然. 』

我『這根本不具有可推廣性, 有指標運算為啥放著不用一定要開這種倒車? 』

某師兄弟『那是因為張量的表示必須是矩陣, 多少個指標就多少維. 』

我『這些概念根本就不需要表示, 表示也不一定要寫成矩陣! 』

某師兄弟『數學上確實不需要, 但我們是物理系的··· 』

我『! ! 』我鯊辣梨!

我以前是理解不了為啥有的師兄談到這些東西會那麽上頭的, 而現在我也快跟本來還很能處的同屆老哥發展成世仇了··· 所以你看物理史時, 無論中外, 總能聽說某幾位物理大家互相鄙視對吧? 過火點甚至能吵到老死不相往來的程度. 但究其原因, 就算這段世仇是源於『Christoffel 符號究竟是不是一個張量』這種問題, 在現在的我看來也是不會感到很驚訝的.

吵歸吵, 吵完去食堂打包還得是一起去, disagreement 不會跟出會議室.

物理人, 是這樣的.

你們怎麽還擱這問我出不出負號的問題啊? 那我就專門再講最後一次:

厄米共軛:

{{\left( {{{{\rm{\bar{q}}}}}_{1}}\Gamma {{{\rm{q}}}_{2}} \right)}^{\dagger }}={\rm{q}}_{2}^{\dagger }{{\Gamma }^{\dagger }}{{\gamma }^{0\dagger }}{{{\rm{q}}}_{1}}={\rm{q}}_{2}^{\dagger }{{\gamma }^{0}}{{\gamma }^{0}}{{\Gamma }^{\dagger }}{{\gamma }^{0}}{{{\rm{q}}}_{1}}={{{\rm{\bar{q}}}}_{2}}{{\gamma }^{0}}{{\Gamma }^{\dagger }}{{\gamma }^{0}}{{{\rm{q}}}_{1}}.

\overline {\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}

轉置的分量形式:

{\rm{q}}_{1A}^{{\rm{T}}}{{\Gamma }_{AB}}{\rm{\bar{q}}}_{2B}^{{\rm{T}}}=\Gamma _{BA}^{{\rm{T}}}{\rm{q}}_{1A}^{{\rm{T}}}{\rm{\bar{q}}}_{2B}^{{\rm{T}}}=\Gamma _{BA}^{{\rm{T}}}{{{\rm{q}}}_{1A}}{{{{\rm{\bar{q}}}}}_{2B}}=-\Gamma _{BA}^{{\rm{T}}}{{{{\rm{\bar{q}}}}}_{2B}}{{{\rm{q}}}_{1A}}=-{{{{\rm{\bar{q}}}}}_{2B}}\Gamma _{BA}^{{\rm{T}}}{{{\rm{q}}}_{1A}}.

\overline {\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}

轉置的矩陣形式:

{\rm{q}}_{1}^{{\rm{T}}}\Gamma {\rm{\bar{q}}}_{2}^{{\rm{T}}}=-{{\left( {{{{\rm{\bar{q}}}}}_{2}}{{\Gamma }^{{\rm{T}}}}{{{\rm{q}}}_{1}} \right)}^{{\rm{T}}}}=-{{{{\rm{\bar{q}}}}}_{2}}{{\Gamma }^{{\rm{T}}}}{{{\rm{q}}}_{1}}.

厄米共軛不會產生位置交換帶來的負號是因為 {{\left( {{{{\rm{\bar{q}}}}}_{1}}\Gamma {{{\rm{q}}}_{2}} \right)}^{\dagger }} 僅僅只是 {\rm{q}}_{2}^{\dagger }{{\Gamma }^{\dagger }}{{\gamma }^{0\dagger }}{{{\rm{q}}}_{1}} 的一個記號罷了, 後者是括弧內的 {{{{\rm{\bar{q}}}}}_{1}}\Gamma {{{\rm{q}}}_{2}} 在對偶空間上的伴隨式. 記號 {{\left( {{{{\rm{\bar{q}}}}}_{1}}\Gamma {{{\rm{q}}}_{2}} \right)}^{\dagger }} 的意思就是取括弧內的部伴隨式, 這等於是直接把伴隨式寫出來, 並不會涉及移動與否的問題.

但 {{\left( {{{{\rm{\bar{q}}}}}_{2}}{{\Gamma }^{{\rm{T}}}}{{{\rm{q}}}_{1}} \right)}^{{\rm{T}}}} 卻不能簡單地認為是取括弧內的轉置式, 因為其實轉置是個根本就不存在的操作. 之所以需要用到轉置是因為最初不知道是誰把 {\rm{q}} 規定為列矩陣而 {{\rm{\bar{q}}}} 定義為行矩陣了, 然而事實上它們都只是四個分量構成的數列罷了, 並不存在行或列的問題, 所以無論是 {{{{\rm{\bar{q}}}}}_{1}}{{{\rm{q}}}_{2}} 還是 {\rm{q}}_{2}^{{\rm{T}}}{\rm{\bar{q}}}_{1}^{{\rm{T}}} 實際上指的都是 \sum\limits_{A}{{{{\rm{q}}}_{1A}}{{{\rm{q}}}_{2A}}} 這個式子, 只是如果要把 {{{\rm{q}}}_{2}} 放左邊的話就要因為移動而產生一個負號.

矩陣到底是啥?

矩陣就是線性代數的一個表示對吧? 在物理人這邊還真就比這廣義···

物理人算數: 人有多大膽, 文章多高產.

這邊常有一堆人不吊細節, 說真的我不知道, 我是真的不知道他們怎麽能對這樣的計算抱有信心.

比如矩陣, 在物理系很多時候寫出矩陣來並沒有考慮到線性變換之類的問題. 我們寫出矩陣, 就只是因為你這個量, 它有倆同類指標···

一個張量, 一個多身份張量, 一個跨越時空腳踏五六個空間身批七八個指標的張量, 我們只要隱去其中倆位於同一空間的指標, 它就便乘了矩陣··· 就這麽, 直爽.

什麽? 三個指標的立體矩陣? 二十八維的方塊兒矩陣?
這我高低不得給你一拳? !

但這只是計算的簡潔形式罷了, 這只是讓計算過程可以少些幾個指標罷了. 結果有些人還真就當它們天生就是矩陣了, 然後遇到一堆說不清道不明的東西··· 我是說, 物理系這邊幾乎所有的定義與結論都是分量形式給出的, 你想不通了還不趕緊退回分量去看看?

比如說當年那個向量算符對易子裏的是什麽運算的問題, 就下面這個:

\vec{X}={{X}_{i}}{{{\vec{e}}}^{i}}=\left[ \begin{matrix} {{X}_{1}} \\ {{X}_{2}} \\ {{X}_{3}} \\ \end{matrix} \right],\vec{P}={{P}_{i}}{{{\vec{e}}}^{i}}=\left[ \begin{matrix} {{P}_{1}} \\ {{P}_{2}} \\ {{P}_{3}} \\ \end{matrix} \right],\ \left[ \vec{X},\vec{P} \right]=\text{i}\hbar.

那請問 \left[ \vec{X},\vec{P} \right]=\vec{X}\vec{P}-\vec{P}\vec{X} 裏的是 \vec{X}\vec{P} 是啥運算? 內積? 並矢?

首先肯定不是內積, 因為 \left[ \vec{X},\vec{P} \right]={{X}_{i}}{{P}^{i}}-{{P}^{i}}{{X}_{i}}=\left[ {{X}_{i}},{{P}^{i}} \right]=3\text{i}\hbar.
但寫成並矢的話···
\left[ \vec{X},\vec{P} \right]=\vec{X}\vec{P}-\vec{P}\vec{X}
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\left[ \begin{matrix} {{X}_{1}}{{P}_{1}} & {{X}_{1}}{{P}_{2}} & {{X}_{1}}{{P}_{3}} \\ {{X}_{2}}{{P}_{1}} & {{X}_{2}}{{P}_{2}} & {{X}_{2}}{{P}_{3}} \\ {{X}_{3}}{{P}_{1}} & {{X}_{3}}{{P}_{2}} & {{X}_{3}}{{P}_{3}} \\ \end{matrix} \right]-\left[ \begin{matrix} {{P}_{1}}{{X}_{1}} & {{P}_{2}}{{X}_{1}} & {{P}_{3}}{{X}_{1}} \\ {{P}_{1}}{{X}_{2}} & {{P}_{2}}{{X}_{2}} & {{P}_{3}}{{X}_{2}} \\ {{P}_{1}}{{X}_{3}} & {{P}_{2}}{{X}_{3}} & {{P}_{3}}{{X}_{3}} \\ \end{matrix} \right]=\text{i}\hbar {{1}_{3\times 3}}.
似乎右邊的那個矩陣是並矢的轉置啊···
所以是 \left[ \vec{X},\vec{P} \right]=\vec{X}\vec{P}-{{\left( \vec{P}\vec{X} \right)}^{\text{T}}}\ \ ?
那還確實是··· 而且這僅僅只是這個人造三維空間的轉置 ^[3] , 是一個毫無意義的轉置.

這是因為最初定義的正則對易關系就是『分量』定義的:

\left[ {{X}_{i}},{{P}_{j}} \right]={{X}_{i}}{{P}_{j}}-{{P}_{j}}{{X}_{i}}=\text{i}\hbar {{\delta }_{ij}} 還記得嗎?
所以嗯抹掉指標寫成矩陣就是 \left[ \vec{X},\vec{P} \right]=\vec{X}\vec{P}-{{\left( \vec{P}\vec{X} \right)}^{\text{T}}}=\text{i}\hbar {{1}_{3\times 3}}\cdots
你實際上正則量子化裏設定好的對易關系不都是對分量設定的嗎?

所以, 就這麽個情況, 請回到定義去談論這些問題球球了.

另一方面矩陣誘發了指標運算, 這是件好事, 大大地方便了我們的日常. 但它同時也讓一大堆人不分張量與張量的分量. 我是說, 張量和張量的分量他們敢不作區分.

如果我兒子將來指著矩陣元跟我說這就是矩陣本身,
不說引匯出家庭暴力吧, 至少這個父子我想是做不成了.

我討厭矩陣, 它是一個醜陋的怪物

我們對矩陣的感情是深刻的, 每個人都與矩陣有過那樣一段刻骨銘心的過去, 但有的人始終畏懼, 更多人則是留戀不已, 而我們真正應該做的卻是 move on.

線上性代數這門課上我們第一次見到矩陣, 它的運算是如此之駭人, 竟還遺失了乘法的交換律.

但沒過多久, 我們習慣了矩陣的運算, 嘗到了許多的甜頭, 我們對不滿足交換律的乘法早已習以為常, 甚至還有些慶幸它起碼具有結合律.

經過了量子力學的洗禮, 我們熟悉了矩陣元的概念與求和表述的矩陣運算後徹底地愛上了這個怪物. 這時的矩陣在我們心中已經與數位的地位對等了, 在我們的心中它就是新的真實.

我們學完張量指標運算之後, 心中是那麽清楚, 張量就是多重線性對映, 你為什麽要稱其為矩陣!

矩陣根本就不具備可推廣性, 一個張量有三個指標所以它的矩陣是個立方體? 我一拳就給你.

Lie 群? 我說群結構流形, 你就茫然; 我說矩陣的集合, 你便安心; 你說確實如此, 我則心中苦澀.

Dirac gamma 矩陣是矩陣? 且竟然只有 4 個? Clifford 代數竟然是矩陣? Grassmann 代數竟然是矩陣? 旋量場竟然是矩陣? 為什麽? 為什麽要是矩陣?