L^{\infty}(U) 是定義在 U 上有上確界 (嚴格來說其實是supessentiel) 函式空間;
W^{1,n}(U) = \left\{f : \sum_{i=0}^n \left|f^{(i)}\right|\in L^1(U)\right\} , u \in W^{1,n}(U) 只能在一定程度上說明函式的性質, 並不能確定它有界.
書中這個例子 (算起來好麻煩的...) 顯然不是有界的, 所以 u\notin L^{\infty}(U) .
\begin{array}{ll} \int_U |u|\text{d}x & = 2\lim_{\alpha\to 0}\int_{\alpha}^1 \log\log\left(1+\frac{1}{x}\right)\text{d}x\\ & = 2\lim_{\alpha\to 0}\left[x\log\log\left(1+\frac{1}{x}\right)\right]_{\alpha}^1 + \int_\alpha^1\frac{1}{(x+1)\log\left(1+\frac{1}{x}\right)}\text{d}x \end{array}
第一項顯然有界, 第二項中被積部份也顯然有界, 所以 u\in L^1(U) .
後邊, 就是繼續算 u 的若幹次導數還屬於 L^1(U) 就行了.
希望我沒理解錯, 如果錯了的話請幫忙指正, 之後我會來改的...
順帶, 我去找了原書 : Partial Differential Equations: Second Edition, Lawrence C. Evans
可以在以下地質找到電子版 : http:// home.ustc.edu.cn/~xushi jie/pdf/textbooks/pde-evans.pdf
