深夜睡不著來答題. 這道題考察的其實就是 B-W 定理(列緊性)的套用. 絮叨一點的說, 題目要求找到的是一個統一的腳標序列, 使得用該腳標選出的函式列在 E 上有極限(逐點收斂).
下面我寫的詳細一點, 實際證明不要寫這麽多......,題主自己整理一下吧.
依據題意, 首先有 \forall x \in E\subset [a,b] , |f_{\alpha}(x)|\leq M .
E 是一個可數集, 不妨設 E = \{x_1,\cdots,x_m,\dots\} , 我們這樣來構造需要的腳標序列.
首先, 對於 x_1 , 由 |f_{\alpha}(x_1)|\leq M , 根據 B-W 定理, 存在收斂的子列, 相應的腳標序列記為 \{\alpha_{n}^{1}\}_{n=1}^{\infty} ;
接著, 對於這個腳標序列選出的函式列, 以及 x_2 , 我們由 |f_{\alpha_{n}^{1}}(x_2)|\leq M , 根據 B-W 定理, 存在收斂的子列, 相應的腳標序列記為 \{\alpha_{n}^{2}\}_{n=1}^{\infty} ;
以上這個過程可以不斷重復, 每一次我們選出的腳標, 畫成一個列表看就是下面這樣的:
\begin{matrix} \alpha_{1}^{1}& \alpha_{2}^{1} &\cdots & \alpha_{n}^{1} & \cdots\\ \alpha_{1}^{2}& \alpha_{2}^{2} &\cdots & \alpha_{n}^{2} & \cdots\\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ \alpha_{1}^{m}& \alpha_{2}^{m} &\cdots & \alpha_{n}^{m} & \cdots\\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ \end{matrix}
其中, 從第二行開始, 每一行都是上一行的子列.
那麽按照左上到右下的對角線, 取腳標序列, 這就是我們需要的這個統一的腳標序列. 另外, E 如果是有限可數的, 那麽就取最後一次操作得到的子列, 就可以了.
這道題也就證明完成了.
