Why 取对数？
(1) 缩小数据之间的绝对差异；避免个别极端值的影响
(2) 尽可能满足经典线性模型假定（ classic Linear Model）
(3) 经济学意义
\begin{gathered} \ln (\text { 产量 } Y)=\alpha_{0}+\alpha_{1} \ln (\text { 资本 } K)+\alpha_{2} \ln (\text { 劳动时间 } L) \\ \frac{\partial \ln (Y)}{\partial \ln (K)}=\frac{\frac{\partial Y}{Y}}{\frac{\partial K}{K}}=\frac{K}{Y} \frac{\partial Y}{\partial K}=\epsilon_{Y K} \end{gathered} \\
因此 \alpha_{1} 就表示资本变化 1 \% , 产量变动百分之 100 * \epsilon_{Y K} \% ， 则 \alpha_{1} 表示弹性。
Y=e^{\alpha_{0}} K^{\alpha_{1}} L^{\alpha_{2}} \\ 其中， e^{\alpha_{0}} 是全要素生产率，在 \alpha_{0} 上加一个扰动，再两端取对数即回归模型, 由此， 回归方程式里的参数都能对应到模型中的参数，此时, 回归从一个 reduced-form 变为了 structural-form 。
How 取对数？
如何解释估计系数？
取对数意味着什么？
将 \log (y) 在 y_{0} 处 Taylor 展开,
\begin{gathered} \log (y)=\log \left(y_{0}\right)+\frac{1}{y_{0}}\left(y-y_{0}\right) \\ \Rightarrow \Delta \log (y)=\frac{\left(y-y_{0}\right)}{y_{0}} \\ \Rightarrow 100 * \Delta \log (y) \approx \% \Delta y \end{gathered} \\
可发现，取对数后的变量的变动（变量对数的变动*100）近似等于变量的百分比变动 (增长率)。
对数-水平模型：Y 取对数 \beta_{1} 的解释，考虑度量单位变换
(1) 简单估计
考虑工资方程
\log (w a g e)=\beta_{0}+\beta_{1} e d u c+u \\
估计系数 \beta_{1} 的解释可从下式中获知:
\begin{gathered} \Delta \log (w a g e)=\beta_{1} \Delta e d u c \\ \% \Delta w a g e \approx\left(100 \cdot \beta_{1}\right) \Delta e d u c \end{gathered} \\
即每多接受一年教育，工资将增加 100 * \beta_{1} \% 。 NB 变量对数的变动* 100 近似变量的百分比变动， 上式等式左侧 * 100, 根据度量单位变 换相关知识, 解释估计系数 \beta_{1} 时也要 * 100 。
(2) 精确估计
如果要精确估计 x 变动一单位, y 变动多少，则考虑
\begin{gathered} \log \left(y_{1}\right)-\log \left(y_{0}\right)=\beta_{1} \Delta x \\ \log \left(\frac{y_{1}}{y_{0}}\right)=\beta_{1} \Delta x \\ \frac{y_{1}-y_{0}}{y_{0}}=\exp \left(\beta_{1}\right)-1 \\ \% \Delta y=100 *\left[\exp \left(\beta_{1}\right)-1\right] \end{gathered} \\
(3) 举例
\log \widehat{(\text { wage })}=0.584+0.083 $educ$ \\
其中，0.083 意味着每多受一年教育将带来小时工资增长 8.3% ; 而精确估计下，多受一年 教育将带来小时工资增长 8.65% 。
当 X 为哑变量时 现在，我们研究这样一个问题 : 年轻的时候上私立学校到底会不会对之后的劳动回报产生影响？
最简单的思路是观察这样一个回归模型：
\ln Y_{i}=\alpha+\beta P_{i}+e_{i} \\
其中 Y_{i} 表示 i 参加工作之后的工资水平， P_{i} 等于 1 意味着年轻的时候渎私立学校, 0 意味着读公立学校, e_{i} 则代表了影响 工资的经济学家观测不到的其它因素, 如个人能力。
上述模型，在「其它变量保持不变的情况下"，一个年轻时候读私立学校的员工工作之后的收入是:
\ln Y_{i, P_{i}=1}=\alpha+\beta+e_{i} \\
而一个年轻时候读公立学校的员工参加工作之后的收入是：
\ln Y_{i, P_{i}=0}=\alpha+e_{i} \\
模型对于系数 \beta 的解释是读公立学校和读私立学校给员工 i 的收入带来的潜在影响差:
\ln Y_{i, P_{i}=1}-\ln Y_{i, P_{i}=0}=\beta \\
这意味着系数 \beta 具备的意义是:
\beta=\ln \frac{Y_{i, P_{i}=1}}{Y_{i, P_{i}=0}}=\ln \left(1+\frac{Y_{i, P_{i}=1}-Y_{i, P_{i}=0}}{Y_{i, P_{i}=0}}\right)=\ln \left(1+\Delta \% Y_{p}\right) \approx \Delta \% Y_{p} \\
也就是说 : 当找们把输出变量取对数时，所得到的模型估计的结果近似告诉我们相比读公立学校，私立学校对未来收入造成的百分比影响。
水平-对数模型：X 取对数 一个 X 取对数, Y 为百分数的例子 研究学校规模对学生成绩的影响, 估计出如下模型 (见 Wooldridge 的 Introductory Econometrics, 2009, 4e, pp.126-128) 。
\widehat{m a t h 1} 0=-207.66+21.16 \log (\text { totcomp })+3.98 \log (s t a f f)-1.29 \log (\text { enroll }) \\
其中, m a t h 10 表示标准化十分制数学测验通过百分比， t o t \operatorname{com} p 年均教师薪资; s t a f f 平均每干名学生拥有的教职工 人数; e n r o l l 表示学校注册人数，用以衡量学校规模。 如何解释- 1.29 这一估计系数呢? \mathrm{NB} \times 取对数后，要解释为 x 的百分比变动，则意味着解释变量的度量单位乘以 100 ， 则估计系数的解释要除以 100。
\Delta \widehat{\text { math } 10} \approx-(1.29 / 100)(\% \Delta \text { enroll }) \approx-0.013(\% \Delta \text { enroll }) \\
可以解释为, 学校注册人数每增加 10 \% , 预计数学测验通过率将下降 0.13 个百分点(注意, matp0 为百分比，取值 35.3 则表示 35.3 \% 的学生通过测验) 。
详细内容参见连享会推文
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命令：
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. ssc install songbl, replace
