本质在于 a^{\frac{p}q} 是定义成 (a^p)^{\frac{1}{q}} 还是 (a^{\frac{1}{q}})^p 的问题。
对于一般的复数，定义 a^b=e^{bLna} 。如果取辐角为主值（即 k=0 ），那么 a^b=e^{b\ln |a|}[\cos (b\arg a)+i\sin(b\arg a)] 。这样定义的 a^b 符合实数中的定义（前提是式子有意义），例如 (-3)^2=e^{2\ln 3}(\cos2\pi+i\sin2\pi)=3^2\cdot(1+0)=9 ， 9^{\frac{1}{2}}=e^{\frac{1}{2}\ln 9}(\cos 0+i\sin0)=\sqrt{9}\cdot(1+0)=3 ，等等。
如果 b 是一个分数（先不管是否可以约分），而 a 是一个负数的话，记 b=\frac{p}{q} ，代入上式得 a^b=e^{\frac{p}{q}\ln|a|}[\cos(\frac{p}{q}\pi)+i\sin(\frac{p}{q}\pi)] 。这是一个模长为 e^{\frac{p}{q}\ln |a|} ，辐角为 \frac{p}{q}\pi 的复数。
现在分别计算 (a^p)^{\frac{1}{q}} 和 (a^{\frac{1}{q}})^p 。
(a^p)^{\frac{1}{q}} ：
a^p=e^{p\ln |a|}(\cos p\pi+i\sin p\pi)=\pm |a|^p ，这里当 p 为奇数时， \cos p\pi=-1 ，所以取负号。而 p 为偶数时， \cos p\pi=1 ，取正号。比如 (-3)^2=+|3|^2=9,(-3)^3=-|3|^3=-27 ，跟实数中是一样的。
如果 p 是奇数，那么 \arg a^p=\pi ，于是 (a^p)^{\frac{1}{q}}= e^{\frac{p}{q}\ln|a|}(\cos\frac{\pi}{q}+i\sin\frac{\pi}{q}) ，它是一个模长为 e^{\frac{p}{q}\ln |a|} ，但辐角为 \frac{\pi}{q} 的复数。如果 p 是偶数，那么 \arg a^p=0 ，于是 (a^p)^{\frac{1}{q}}= e^{\frac{p}{q}\ln|a|}(\cos 0+i\sin 0)= e^{\frac{p}{q}\ln|a|} 。它是一个模长为 e^{\frac{p}{q}\ln|a|} ，辐角为0的复数（正实数）。
(a^{\frac{1}{q}})^p ：
a^{\frac{1}{q}}=e^{\frac{1}{q}\ln|a|}(\cos \frac{\pi}{q}+i\sin\frac{\pi}{q}) ，它是一个模长为 e^{\frac{1}{q}\ln|a|} ，辐角为 \frac{\pi}{q} 的复数。而根据棣莫弗公式， (a^\frac{1}q)^p=(e^{\frac{1}{q}\ln|a|})^p\cdot(\cos\frac{p}{q}\pi+i\sin\frac{p}{q}\pi) ，与直接计算 a^{\frac{p}{q}} 是一致的，无需分类讨论。
所以， 当 a<0 时，定义 a^{\frac{p}{q}} 是一个模长为 e^{\frac{p}{q}\ln|a|}=|a|^{\frac{p}{q}} ，辐角为 \frac{p}{q}\pi 的复数 。因为 |a|^{\frac{p}{q}} 是一个底数为正数的幂，指数部分是否约分不影响结果。而 \frac{p}{q}\pi 也是一样的道理，是否约分都表示同一个辐角。所以在这种定义下无论指数是否约分，都不影响最终结果。
(-1)^{\frac{2}{4}}=[(-1)^{\frac{1}{4}}]^2 ，先看 (-1)^{\frac{1}{4}}=\sqrt[4]{1}(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac\pi{4})=\frac{\sqrt{2}}{2}(1+i) ，再平方， =\frac{1}{2}(1+i)^2=\frac{1}{2}(1+2i-1)=i ，与直接计算 (-1)^{\frac{1}{2}}=i 是一致的。
