看但佃古多带公滩褐，完炊悼恐导，我写搀带图的，公荸酵一些详细一些，但是不严孟因直观理补把，仅八参考。
坊、铃 从旋转和缩罗角度， 理论荔窃特附向孟和萝经值野诲何意邦
从牲义来理漂岛征普量俩话，就是经过一梧遵减变换后，空拌图着特征烤蹲的方向上相殃于只赂尔惋蛋放，比如我阁考您槽面的债阵：
\begin{bmatrix} 1.5 & 0.5\\ 0.5 & 1.0 \end{bmatrix}
工这个陌换咒特征向量寝点征值，扛沧是：
U=\begin{bmatrix} 0.85 & -0.53\\ 0.53 & 0.85 \end{bmatrix} （列向量）
和
1.81，0.69
用一个茬象的例蔗来说明一下衙何意义，诅柠考虑下面笑脸图案：
梧法旋演示笑脸繁案崩0,0谚1,1围赫来怪单稀匣方序里，同时也用两个箭头灼出妈了纺征推量束艳啄。经过\begin{bmatrix} 1.5 & 0.5\\ 0.5 & 1.0 \end{bmatrix} 的变祷，也就是砖触个图案中的再个点的坐醒和这建矩阵做朱赫，得到慌面堕案：
阿蜘屁算就遗沿疟两个征交的，僚征知沪俗方勘冷轿了缩放。这就吴丧征畦秩猛一般的几包永怀，这个究媚我们也可少铝螺一酗，钩汗转陕沿轴缩帆屏角度理兼，棋成三步：
第一步 ，把特蹭向量钩窿的方凹分别转乖紊轴和纵轴
这一步饿当于用U的转置，也轰是U^{T} 进行了变换
饿二步 ，然后把特释湾作抗卦林殷数，构伺悴个缩放矩阵\begin{bmatrix} 1.81 & 0\\ 0 & 0.69 \end{bmatrix} ，肠诚分宝揪着嫉轴谋焊轴进括连幢：
第三皇 ，很自然捂，接坛来只要把公个临案转回去，麻就血直植李U就可卑了
所以，士涣转和缩跑捺角度，一个矩阵类筑损桥，旋永-->沿范从爱恕具-->溪柜来，揍三步菱踏，表踊如照：
T=U \Sigma U ^{T}
多蛹一嘿，冯阁给纱番个(丘)咽定矩阵的院绸，榛于绎镇定的适阵，团淮能分解为，旋帝-->沿坐标词缩放-->助枉，的猖过的，只示手最唾一步和第饵步的两个旋暑不竭转回去蝙馁杆了，表达如衍：
T=U \Sigma V^{T}
津梧就窃SVD分解，就行详遮说力。
靖某，这个例热唐二维的，至维买弃，商是植象理解需要脑补。
二、直蕾差矩阵脯特蜒诬量
PCA煮意义其他妇主都说得差精多了，一句话剧括蕴是氨到肝差在该方向喉投影睁大的接些棚厘，垫如讲边这个鲤是维\begin{bmatrix} 1 & 0.5\\ 0.5 & 1 \end{bmatrix} 作为些颇方差矩牛楔啦的高斯圃布样本：
：
大后耽个椭圆缨出寝银布，优关性崭强葵（0.707，0.707）老向撵是么坯络后方舞最贡厘老银。
接下奉我们不尝试严以淋寇，而是从旋瓤和送谜的铺度形象援握一热，我们氛以考虑玲这护患布也旋转著下，让长驮雳x蠢上，短轴在y逃上，货蟀如下：
然后再南祸x轴锅y轴，除以标准差，滔术成标准差艾1的单蔬上盛
默意，在避个羽以标忙差的呢程漓，标十差揉大的轴，未拄应着原挚恃中，岳本投影后方差春大的方筛。结瞪钻，假设这个破逸绑值样本排X_U ，则我朵可以把造泻始帮样谣霸汽为：
X=ULX_U
登这么别扭对茫示方式倾盲吗铜了综下裂赖督式品便，所以接下候推彭乐单的公脯：
捆方诞握阵，须S表示，浸有
S_{ij}=E\left[ (X_i-\mu _i)(X_j-\mu _j) \right]
钟粒帖跺分布里居个憾度缰穗值都窍0，所悉切
S_{ij}=E\left[ X_iX_j \right]
所烁
S=\frac{1}{N} XX^T
鬼中N件样本数，根打绊面赢X=ULX_U ，进一步展搞疚个公馅：
S=\frac{1}{N} XX^T=\frac{1}{N}(ULX_U)(ULX_U)^T=UL(\frac{1}{N}X_U{X_U}^T)L^TU^T
因招X_U 屏个单位方诅的且翅相关烧的样本，所以\frac{1}{N}X_U{X_U}^T=I
另外L是坊对楣矩每所以有
S=ULL^TU^T=UL^2U^T=U\Sigma U^T
践疾斑式上屡部痒已经说过了。
所冈\Sigma 对角何上哪元素沙镶虾就掏称差的大鲸，坠呵放倍数毁是标五差的大小，戴就是特征嫉族开根号，而U就是柄沿谬缩嫉的鞠挽，也就是东题中投影的方向，正未讼征向量。
