有一个看似显而易见，然而两千年努力发现证明不了的东西： 平行公设
平行公设：若平面内一条直线和另外两条直线相交，若在直线同侧的两个内角之和小于两直角，则这两条直线经无限延长后在这一侧一定相交。
按理说公设是无法证明的东西。但和前4个公设相比， 平行公设看起来似乎更像一条定理而不是公设, 人们怀疑它的独立性,两千年间，许多数学家投身到证明平行公设的难题之中。
1 欧式几何五大公设
公设1：任意一点到另外任意一点可以画直线 公设2：一条有限线段可以继续延长公设3：以任意点为心及任意的距离可以画圆公设4：凡直角都彼此相等公设5：同平面内一条直线和另外两条直线相交，若在某一侧的两个内角和小于二直角的和，则这二直线经无限延长后在这一侧相交。经过证明人们知道了， 平行公设等价于三角形内角和等于180度
如果公设1，2，3，4能够证明公设5，那么我们就可以在 只使用1，2，3，4的情况下，得到三角形内角和等于180度 。
2 萨开里试证
2.1 萨开里四边形
这是萨开里定义的一个四边形，其中 \angle A 和 \angle B 是直角，AC＝BD，满足这些条件的四边形称为 萨开里四边形
在萨开里四边形中，我们可以证明到两顶角相等( \angle C ＝ \angle D ),两底边(AB,CD)的中点连线(MN)是两底边的中垂线。
2.2 三种假设
\angle C ＝ \angle D ，萨开里提出了三种假设：
萨开里证明了在 顶角为直角时，三角形内角和等于180度
只需要再证明出 顶角为钝角和锐角时会产生矛盾 ，就可以得到结论。
我们先来看看钝角假设： \angle C 、 \angle D 为钝角
萨开里证明了它不成立，因为它违反了公设2： 一条有限线段可以继续延长 。
延长BD
从图中我们可以看出，延长BD后，BD最终会变成一个封闭的图形，不能继续延长。所以它不成立。
锐角假设
可以得出三角形ABC内角和小于180度(先证明 \angle DBC > \angle ACB 即可)
在锐角假设下，萨开里在 没有逻辑矛盾的情况下 ，导出了很多结论：如三角形内角和小于180度、过直线外一点可以作无数条平行线。但它认为这种现象 违反常理 ，因此认为导出了矛盾，他认为锐角假设不成立。
萨开里推出锐角的情况不成立，直角的情况成立，钝角的情况不成立，所以他认为他证明了平行公设。
实际上，萨开里锐角假设下的现象只是和人们的日常观念相矛盾，并没有逻辑矛盾，因此萨开里并没有证明第五公设。
很可惜，如果萨开里将锐角假设的研究深入下去，说不定非欧几何能早诞生100年。
在欧式几何中，三角形内角和等于180度，在非欧几何中三角形是怎样的呢？
3 非欧几何中的三角形
内角和大于180度的三角形 。
将地球表面看作一个平面，那么直线是什么样子的呢？
可以知道 经线与赤道都是直线
可以看到，这样的直线也满足： 两点距离最短，两点确定一条直线
以地球的赤道与两条经线作为边所形成的三角形，内角和大于180度
黑色的三角形，内角和大于180度
赤道和经线 不能无限延长 。也验证了萨开里所说的，钝角情况下不满足第二公设。
内角和小于180度的三角形
如果是在一个凹进去的球上，三角形是这样的
三角形边越长，内角的和就越小，并且三角形的面积不大于一个定值。
4 非欧几何中的平行线
4.1 黎曼说：直线没有平行线
前面提到什么是球面上的直线，可以知道球面上 所有的直线都相交 。
4.2 罗巴切夫斯基说：直线至少有一条平行线。
庞加莱非欧模型
在平面上作一条直线u，直线将平面分为两部分，直线上半平面(不包含直线u上的点)为我们所要的非欧平面，记作L。
我们将 圆心在u上的半圆或者垂直于u的射线称为L直线 。(垂直于u的射线也可看作是圆心在u上，半径无限大的圆周。)
直线 l_2 、 l_3 、 l_4 都平行与 l_1
过A点可以作1条以上直线与 l_1 平行
5 平行公设不能被证明
平行公设，一个生活中似乎随处可见的真理（三角形内角和180度等），竟然被 证明了它不能够被证明 ，因为欧式几何和非欧几何都没有逻辑矛盾。
我们来看看罗氏几何和欧式几何的公设的区别
欧式几何：
公设五：同一平面内一条直线和另外两条直线相交，若在某一侧的两个内角的和小于两直角，则这两直线经无限延长后在这一侧相交。（等价命题：过直线外一点，有且仅有一条直线与已知直线平行。）罗氏几何：
公设五：过直线外一点，至少可以做一条直线与已知直线平行罗氏几何的存在就说明了平行公设不能被证明
6 并不是越简单的命题越容易证明
并不是简单的东西，就一定能够被轻松的证明。甚至可以说正相反，因为条件越是简单，可以使用的工具就越是难找，更需要证明者对数学知识有全方位的掌握。数学的三个猜想： 费马大定理，四色定理，歌德巴赫猜想 就是很好的例子。这些有名的问题，题目看上去都很简单，却是世界上公认的难题。
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