这个题目还是推荐更加一般的数论的方法去做，而不推荐太多组合技巧去做。
其实题目的意思，本质是等价与 77^{88} \equiv x \quad (mod 10) 其中ｘ是多少？
显然77和10是互素的，利用欧拉定理的一般形式知道，那必然有
77^{\phi(10)}\equiv1 \quad (mod 10)
这里 \phi(10) 是欧拉函数，即1-10中与10互素的数有几个，显然有４个，分别是
1,3,7,9
故 \phi(10)＝４ ．
也就是说
77^４\equiv1 \quad (mod 10)
利用模运算基本规律可知 \forall k \in N+,均有77^{4k} \equiv 1(mod 10) ,那当然有
77^{88} ＝77^{4*22} \equiv 1(mod 10) .
可见题设所求的答案是１．
为什么要这样去思考问题，主要是因为模运算有太好的性质。
１^{\circ} a1 \equiv b1 (mod p), a2 \equiv b2 (mod p) \Rightarrow a1 \pm a2 \equiv b1 \pm b2(mod p).
只证明加法部分，减法是一样的
这个证明比较简单，因为 a_1 -b_1 = k_1*p,a_2-b_2=k_2*p，所以(a_1 +a_2) -(b_1 + b_2)=(k_1 + k_2)*p
所以a_1 +a_2 和 b_1 + b_2 同余。
２． 如果a_1 \equiv b_1 (mod \quad p),a_2 \equiv b_2 (mod \quad p) 有 a_1a_2 \equiv b_1b_2(mod \quad p)
a_1 -b_1 = k_1*p,a_2-b_2=k_2*p \Rightarrow \\ (a_1*a_2) -(b_1 *b_2)= \\(b_1 + k_1*p)*(b_2+k_2*p)-b_1*b_2 = \\(k_1*b_2 + k_2*b_1+k_1*k_2*p)p
所以 a_1 *a_2 和 b_1 * b_2 同余。
利用性质２可以很自然的得到
77^４\equiv1 \quad (mod 10) \Rightarrow 77^{2*4}\equiv1 \quad (mod 10) ... \Rightarrow 77^{4k} \equiv1 \quad (mod 10)
其实有了上面模如此良好的性质，自然而然思考的是转化的思路，实际上有没有欧拉定理也无所谓，用比较小的数研究一下，会得出一些比较显然的结论，然后根据模运算的加减乘良好性质外推即可。
后注：实际上这类题目的解决范式就是这样的，对于一个特别大的数，我们无法对其进行直接的运算，欧拉定理（有时候模是素数，这个时候结论更好）给我们提供了一个相对较好的起点，即模ｐ余１的数 a^{\phi(p)} ，然后充分利用模运算的四则混合规则，可对任意大数，拆分成相对较小的数的加减乘除后的结果，利用相对较小的数模的性质，即可推出较大的数的模的性质。
