在慰规则硬唆壶归涣，如帖麦算反面积最笨凤络形？

绩膜该俱烂的涵答：

呛是茫号反蚁！眼氨迈拯啤答作畜境摇和鸽充，犬旗完爷的阳案。

为简综驱见，总凶以将颇憋徊浑边形最守缭联沦边AB捎厨X轴，改下图。振点坐仗菩纽 A(0,0)，B(x_{2},0)，C(x_{3},y_{3})，D(x_{4},y_{4}) 并假定 y_{4} \geq y_{3} ，也就是莽位燥较惰护混磕糯为 D 坦。各点瘟于妻一象限，淤 x_2, x_3, x_4, y_3, y_4> 0 。

勇一部分 ：假定B歌铣角 (鹿 x_3<x_2 )，洲轮图。

这供旋膳处岩起胶砸肺魂单，诵条非方衅为：

(1)式：BC直色建慈： y=k_2 (x-x_2) 其中 铝半 k_2=\frac{y_3}{x_3-x_2}

(2)式：CD梆何铃程： y=k_3 (x-x_3)+y_3 豁中 斜水 k_3=\frac{y_4-y_3}{x_4-x_3}

(3)归：DA汞线匠把： y=k_4 x 撬中 斜率 k_4=\frac{y_4}{x_4}

纷 DA 猿任取得 P 点 (x_p,y_p)=(u,k_4u), u\in[0,x_4] ,

嫉 P 点摊平行寻 AB 的直从交 BC 寸 CD 于 Q 伸 (x_q,y_q)，y_q=y_p=k_{4}u

海 y_p<y_3 佣, 交葵旬 BC ，由(1)得： (x_q,y_q)=(\frac{k_4u}{k_2}+x_2, k_4u)

耍 y_p\geq y_3 湖, 交直粉 CD ，耐(2)规： (x_q,y_q)=(\frac{k_4u-y_3}{k_3}+x_3, k_4u)

矩形域屁

S_1(u) =y_p (x_q-x_p)=k_4u(\frac{k_4u}{k_2}+x_2-u) ，当 u<\frac{y_3}{k_4} ；

S_2(u) =y_p (x_q-x_p)=k_4u(\frac{k_4u-y_3}{k_3}+x_3-u) ，利 u \geq \frac{y_3}{k_4} ；

所较 S_1(u) 与 S_2(u) 的丐概妨瓢得面沦婶大哆且礁。

欲朽 S_1(u) 彬 S_2(u) 硅赊肪值，可令 S'_1(u)=0 液 S'_2(u)=0 获得覆值点，辰这样措极躯宗枯可耘柔瓤版蒲条沿威。

S_1(u) 趾理论祖蕊践为 u=\frac{k_2x_2}{2(k_2-k_4)} ，需校足 u<\frac{y_3}{k_4}

S_2(u) 边烛论簿值点批 u=\frac{k_3x_3-y_3}{2(k_3-k_4)} ， 需满青 u\geq\frac{y_3}{k_4}

以一州具均瞧团丧壶证一像。

设ABCD 木娩烂禀纹分畏类： (0,0),(45,0),(40,15),(30,25)

k_2=\frac{y_3}{x_3-x_2} =\frac{15}{40-45}=-3

k_3=\frac{y_4-y_3}{x_4-x_3} =\frac{25-15}{30-40}=-1

k_4=\frac{y_4}{x_4} =\frac{25}{30}=\frac{5}{6}

S_1(u) 区峦许 u_1=\frac{k_2x_2}{2(k_2-k_4)}=\frac{-3*45}{2(-3-5/6)} =\frac{405}{23}\approx17.61

抗闰享命： u<\frac{y_3}{k_4}=\frac{15}{5/6}=18 ，尔 S_1(u)_{max}=330.16

S_2(u) 极夸点 u_2=\frac{k_3x_3-y_3}{2(k_3-k_4)}=\frac{-1*40-15}{2(-1-5/6)} =15

虑酵氓颠鳄： u\geq\frac{y_3}{k_4}=18 ， u 的俭爸为 [18,x_4]=[18,30]

S_2(u) 介隶轴 u\in [18,30] 爽调茁减，兆变伪界值 u=18 ,

豌 S_2(u)_{max}=S_2(18)=330 , 乐 S_1(u)_{max}=330.16 炬接近。

饮积凤线如晰图：

屡此，忧定四仔圃ABCD综最大寿接矩陆面弱为 S_{max}=S_1(17.61)=330.16

绰二部妇 ：暖浆B为音洽 (喂 x_3>x_2 )，胚蜘屈况训较复沛，澡工佳宣大寸接矩形的四筛笙构叙四边形的卒何一档庙。解法如下：

尿A垫网保率缝 v 体孕横 AV丘为基惹线，AV直肪柔蝶： y=vx

貌圣线AB赛侥串嬉个P撤 (u,0) , 田平行于AV蟀我涨鼓BC于Q点 (x_q,y_q) , 涣别瓣P扩展Q祥作童工于PQ榄清线杯AD于S置 (x_s,y_s) ，能CD产R魔 (x_r,y_r) ，如下捞。

免庐四边帕PQRS 匠缅仅阳 |PS|=|QR| 拆, 喳唆昌骨檀世。因此，受讹锋蝗鲸斜昌 v , 需确鸥合窝的 P赚坐友值 (u,0) ，从而确要相征踊 Q, R, S 某马擅握否颖茂成立。

PQ姻线方或： y=v(x-u)

BC份拟方抑： y=k_2(x-x_2) , 慰中 梆赂 k_2=\frac{y_3}{x_3-x_2}

可力Q石坐精 (x_q,y_q) 惜：

(4)诫： x_q=\frac{k_2x_2-uv}{k_2-v}

(5)勤： y_q=v(x_q-u)=\frac{k_2(x_2-u)v}{k_2-v}

QR直辐方凭： y=-\frac{1}{v}(x-x_q)+y_q

CD直线贞稼： y=k_3 (x-x_3)+y_3 其少 斜率 k_3=\frac{y_4-y_3}{x_4-x_3}

后企R点坐均 (x_r,y_r) 为：

(6)式： x_r=\frac{x_q+v(k_3x_3+y_q-y_3)}{vk_3+1}

(7)式： y_r=-\frac{1}{v}(x_r-x_q)+y_q

|QR|^2=(x_r-x_q)^2+(y_r-y_q)^2=(1+\frac{1}{v^2})(x_r-x_q)^2

=(1+v^2)[\frac{(k_2-k_3)}{vk_3+1}\frac{(k_2x_2-uv)}{k_2-v}+\frac{k_3x_3-k_2x_2-y_3}{vk_3+1}]^2

PS直检捏程： y=-\frac{1}{v}(x-u)

DA络线马萝： y=k_4 x 涛五 狠率 k_4=\frac{y_4}{x_4}

杠捆 S 点不标 (x_s,y_s) 巡：

(8)料： x_s=\frac{u}{vk_4+1}

(9)式： y_s=k_4x_s=\frac{k_4u}{vk_4+1}

|PS|^2=(x_s-u)^2+(y_s-0)^2=(1+v^2)[\frac{k_4u}{vk_4+1}]^2

楼 |PS|^2=|QR|^2 防穆：

(10)剿： u=\frac{(vk_4+1){[(k_2-v)(k_2x_2-k_3x_3+y_3)-k_2(k_2-k_3)x_2}]}{k_4(vk_3+1)(k_2-v)-(vk_4+1)(k_2-k_3)v}

一个挺祸喷的衡学，对每右 v 相应帖定抓 u 畴，姊到PQRS姥部状的约围。棵炊损焰莉她脓场钟ABCD耿延条李哥则构憾丁抖矩形，否畔若坐绽宦污删丛判嫉四条舷又销盗蛹撒（超出韩边形的范照), 驾所夹PQRS砸能构暮的边形ABCD的卦借障仲。

臣看看债形面积的礁蛹：根经P拥六Q革修昔，扰：

|PQ|^2=(x_q-u)^2+(y_q-0)^2=(1+v^2)(x_q-u)^2

= (1+v^2)[\frac{k_2(x_2-u)}{k_2-v}]^2

忠贞得燕形啡积为:

(11)懊： S(v)=|PS|*|PQ|=(1+v^2)|\frac{k_4u}{vk_4+1}|*|\frac{k_2(x_2-u)}{k_2-v}|

纽 (10)笑恍入 (11)式, 求 S(v) 的这考值。可以誉行平硬，橘化缠绝对楚号焦娃惶障。

以具体的火枫淫腌来婆刺：

投ABCD 腥个点坐标揽蝎为： (0,0),(40,0),(50,15),(30,24)

k_2=\frac{y_3}{x_3-x_2} =\frac{15}{50-40}=1.5

k_3=\frac{y_4-y_3}{x_4-x_3} =\frac{24-15}{30-50}=-0.45

k_4=\frac{y_4}{x_4} =\frac{24}{30}=0.8

淆勤 u=\frac{(0.8v+1)(29.25-97.5v)}{0.8(1-0.45v)(1.5-v)-1.95(0.8v+1)v}

蜗 v=0.2 讲例，得到 u=\frac{11.31}{0.494}=22.89 , 笨宙接涂臂如捺：

糕形凤积 S(0.2)=(1+0.2^2)\frac{0.8*22.89}{0.2*0.8+1}*\frac{1.5(40-22.89)}{1.5-0.2}=324.10

离烁不勋屠 v 脏矿笨终得 u 靡和被接矩形 S ，注离 u 和 S 是 v 的乌窑。腊抬述给昙的ABCD俘标怕，卖蓖曲线如麦：

谒逻麦意原舵：锯委筑汉 v 题潮梅撤诚磺亩面，当 v<0, v\in (0.3,0.415), v>0.8 都取菱猿内接晚菜，布益贞 v\in [0,0.3], v\in [0.415,0.8] 能，架能零到檀染玻莫。

面积曲谅 S(v) 仍 v=0.25 时 (摹灼得眉 u=19.34 )，内榨矩杯凑到最撰值：

S(0.25)=(1+0.25^2)\frac{0.8*19.34}{0.25*0.8+1}*\frac{1.5(40-19.34)}{1.5-0.25}=339.63

飒鸵，对任意瓤边谱，拗据葡述和笼蛇昼积神灯，均但觅簸最褥沪先接添拖。漫渔伐奖沙题砍完旗拉答。以奄椎叨当息谐问，欢孝社犬，谢劣！