有心力场
正所谓 有心 ，运动的质点在有心力场 中受作用力始终通过一个固定点，而这个点就是 力心 。
比耐公式
\vec{F}=-mh^2u^{2}(\frac{d^{2}u}{d\theta^{2}}+u)\vec{e_{r}} （其中 u=\frac{1}{r} , h=r^{2}\dot{\theta} ）这就是 比耐公式 。而接下来我们就要来推导它。
我们知道质点在有心力场中的运动可以表示为 m\vec{a}=\vec{F} 。而对于一个有心力场来说力的方向是不断变化的。于是我们引入一个 极坐标 ，而 极点 就选取 力心 。
在极坐标中 位矢 有表示： \vec{r}=r\vec{e_{r}} 。
既然要求力，就必须求出位矢 的二阶导，这就是我们的思路。于是我们在正交中把径向和切向的基向量的 一阶导 和 二阶导 搞定。
在 正交系 中。我们选取x方向为 \vec{i} ,y方向 为 \vec{j} 。
于是有 \begin{eqnarray} \begin{cases} \vec{e_{r}}=cos\theta\vec{i}+sin\theta\vec{j}& \\ \vec{e_{\theta}}=-sin\theta\vec{i}+cos\theta\vec{j}& \end{cases} \end{eqnarray}
对它求导，于是有 \begin{eqnarray} \begin{cases} \dot{\vec{e_{r}}}=(-sin\theta\vec{i}+cos\theta\vec{j})\dot{\theta}& \\ \dot{\vec{e_{\theta}}}=-(cos\theta\vec{i}+sin\theta\vec{j})\dot{\theta}& \end{cases} \end{eqnarray}
所以我们有结论： \begin{eqnarray} \begin{cases} \dot{\vec{e_{r}}}=\dot{\theta}\vec{e_{\theta}}& \\ \dot{\vec{e_{\theta}}}=-\dot{\theta}\vec{e_{r}}& \end{cases} \end{eqnarray}
所以我们对位矢求导,这才是我们的 目的 。
\dot{\vec{r}}=\dot{r}\vec{e_{r}}+r\dot{\theta}\vec{e_{\theta}}
再 求导 并 整理
\ddot{\vec{r}}=(\ddot{r}-r\dot{\theta}^{2})\vec{e_{r}}+(2\dot{r}\dot{\theta}+r\ddot{\theta})\vec{e_{\theta}}
那么我们代入质点的 动力学方程 。
\vec{F}=m[(\ddot{r}-r\dot{\theta}^{2})\vec{e_{r}}+(2\dot{r}\dot{\theta}+r\ddot{\theta})\vec{e_{\theta}}]
而我们知道的是，力始终经过 力心 。所以 \vec{F}\cdot\vec{e_{\theta}}=0
所以 2\dot{r}\dot{\theta}+r\ddot{\theta}=0
利用一点数学方法，我们乘一个 r ，可以得到：
2r\dot{r}\dot{\theta}+r^{2}\ddot{\theta}=\frac{d}{dt}(r^{2}\dot{\theta})=0
所以我们知道了一个事实： r^{2}\dot{\theta} 是定值，这也就是角动量守恒 。我们令这个值为 h 。
回到我们的 动力学方程 上去： \vec{F}=m(\ddot{r}-r\dot{\theta}^{2})\vec{e_{r}}
化成标量 以便我们讨论： F=m(\ddot{r}-r\dot{\theta}^{2})
同时化简一下以便我们讨论： \dot{\theta}=\frac{h}{r^{2}} ，我们讨厌分式 ，所以令 u=\frac{1}{r} 。所以 \dot{\theta}=hu^{2}
\dot{r}=\frac{d(\frac{1}{u})}{dt}=\frac{d(\frac{1}{u})}{du}\frac{du}{d\theta}\frac{d\theta}{dt}=-\frac{1}{u^{2}}\frac{du}{d\theta}\dot{\theta}=-h\frac{du}{d\theta}
再次求导
\ddot{r}=\frac{d}{dt}(-h\frac{du}{d\theta})=-h^{2}\frac{d^{2}u}{d\theta^{2}}u^{2}
r\dot{\theta}^{2}=h^{2}u^{3}
那么我们就得到了式子： F=-mh^2u^{2}(\frac{d^{2}u}{d\theta^{2}}+u)
写成矢量式 得到比耐公式： \vec{F}=-mh^2u^{2}(\frac{d^{2}u}{d\theta^{2}}+u)\vec{e_{r}}
这就是我们的比耐公式了。我们可以用它来推导牛顿万有引力定律 。
