-----补充了几个有趣的泛函反例-------
谢邀。这样不是完全不行，但是之所以用「泛函」这个词是因为它有它的特殊性。它的性质和一般多元函数的差别是非常非常大的， 你一定要意识到这点 。随便举一个例子吧，连续函数在有界闭集上可以达到最大最小值，连续泛函做不到。下面是实际例子：
X=C[0,1] ,F(f):=\int_0^1 f^2(t) dt ,这个泛函F 是连续的，但是在有界闭集V=\{\|f\|\leq 1, f(0)=0,f(1)=1\} 上不能达到最小值。取 f_n(t)=t^{n} ,F(f_n)=\frac{1}{2n+1} ,所以最小值为0，但是F(f)=0\implies f=0 ,f\notin V 。
根本的原因在于一般的拓扑向量空间比有限维的欧式空间差多了。 你认为函数成立的结果基本不可能简单的迁移到泛函 ，实质在于拓扑性质的畸变。
再补充一个区别吧，欧式空间上任何线性的函数肯定是连续的，但是 线性的泛函不一定是连续的 。设P 是所有多项式构成的空间，给予范数\|p\|=\max_{-1\leq x\leq 1}|p(x)| ，注意这里我们让多项式可以定义在整个实轴上，取泛函F(p)=p(3) ，自然它是线性的泛函，但是它却不是连续的，实际上我们取p_n(x)=(\frac{x}{2})^n ,显然\|p_n\|\to 0 (n\to\infty ),但是F(p_n)\to\infty .
再再补充一个区别，一个连续函数在单位球上肯定是有界的， 可是一个连续泛函却不一定啊 ！设c_0 是所有收敛到0的数列\{x_n\} 的集合，这个空间上的范数为\|\{x_n\}\|=\sup_{n}|x_n| ,我们定义泛函
F(\{x_n\})=\sum_{n=1}^\infty x_n^n
,这个泛函是连续的，但是我们可以却可以取e_n=(1,1,\cdots, 1,0,0,0)
（也就是前n个全是1，后面都是0）,那么这个情况下F(e_n)=n
,所以在单位球上它是无界的。
之所以数学家给泛函一个名字是因为它很特别，但是用得比较多，比如一个拓扑向量空间上所有线性连续泛函构成的空间对刻画这个空间具有非常大的作用，每次都说「无限维的函数」，不如「泛函」经济省力得多，可以拯救很多树和体能。还有，你把泛函看成「函数」没有什么特别的优点，还不如 把多元函数看成一个泛函的特例。
