\color{red}{\underline{\overline{\bigstar\quad\bigstar\quad\bigstar\quad\bigstar\quad\bigstar\quad\bigstar\quad\bigstar\quad\bigstar\quad\bigstar\quad\bigstar\quad\bigstar\quad\bigstar\quad\bigstar\quad\bigstar\quad\bigstar\quad\bigstar\quad\bigstar\quad\bigstar\quad\bigstar\quad\bigstar}}}
本文点赞破 1w ，后期出一期关于 Stokes 定理的。
\color{red}{\underline{\overline{\bigstar\quad\bigstar\quad\bigstar\quad\bigstar\quad\bigstar\quad\bigstar\quad\bigstar\quad\bigstar\quad\bigstar\quad\bigstar\quad\bigstar\quad\bigstar\quad\bigstar\quad\bigstar\quad\bigstar\quad\bigstar\quad\bigstar\quad\bigstar\quad\bigstar\quad\bigstar}}}
什么是向量场？
得得得，不整名词不整名词，直接看例子。首先揪出平面上的任意一个点 (x,y) ，然后它在「魔法」 \vec{f} 的作用下变成点 (x-y,x+y) 。下面不妨令 (x,y) 为几个特殊点，然后我们来看看它们在 f 的作用下变成了啥。
如图片 1 所示，我们所选的九个特殊点 (x,y),\quad x,\,y=0,\pm1 在「魔法」 \vec{f} 的作用下从左图变到了右图。
例如 (x,y)=(1,1) 在「魔法」 \vec{f} 变成了 (x-y,x+y)=(1-1,1+1)=(0,2) 。那么如果我们将除了原点以外的八个点都视为平面向量会怎样呢？这样做的话会产生图片 2 中的效果：
然后我们将施加了「魔法」的向量与原来的向量放在一起，但是选择的放置方式是特殊的：将所有施加了「魔法」的向量的起点与之前对应的没有施加「魔法」的向量的终点放在一起，之所以这样放置是为了明确对应向量施加「魔法」前后的变化。然后把所有没有施加「魔法」的向量藏起来可以得到图片 3 ：
如果你选择充分多的特殊点，然后耐心的绘制它们在「魔法」 \vec{f} 作用下的结果，则最终可以得到图片 4 [2] ：
一言以蔽之，平面向量 \begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix} 在「魔法」 \vec{f} 的作用下变成了平面向量 \begin{pmatrix} x-y\\x+y \end{pmatrix} ，则我们将：
\vec{f}:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2:\quad \begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix}\mapsto \vec{f}\begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x-y\\x+y \end{pmatrix}\tag{1.1}
称为一个 平面向量场 。从式 (1.1) 中我们可以观察到的平面向量场的特点是什么呢？它有两个十分显著的特点：
- 平面向量场 \vec{f} 是从平面到平面上的映射；
- 平面向量场 \vec{f} 有两个分量。
整几个例子 look look?
平面向量场自然是丰富多彩的，比如这样的：
\vec{f}:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2:\quad \begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix}\mapsto \vec{f}\begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \sin(x)\\ \cos(y) \end{pmatrix}\tag{1.2}
这样的：
\vec{f}:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2:\quad \begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix}\mapsto \vec{f}\begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x^2-y^2\\ 2\cdot x\cdot y \end{pmatrix}\tag{1.3}
还有这样的：
\vec{f}:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2:\quad \begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix}\mapsto \vec{f}\begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \sin(x+y)\\ \cos(x+y) \end{pmatrix}\tag{1.4}
好看吧？好看的话就先擦擦口水，然后我们继续。
深入探讨一下？
光擦口水不行啊，美好的事物那不得深入了解一下？
哦？散度？
啊～被一箭穿心了。但是可惜，射歪了。有效爱意只有短短的浅玫瑰红那一部分。现在调整 角度 ，来再（补）射（充）一（爱）箭（意）
看，有效爱意增加了吧。行了，美梦可以醒了，起床学习了。不过谁说这只是一场梦啊，嗯？我能用它解释散度你信吗？
我要开始了啊。
首先将两次「打靶」的结果竖直放置，并且让它们处于同一高度上，同时给它们之间留出一些距离 \left|\vec{s}\right| 。然后将它们一起逆时针旋转 90^{\circ} ，并添加必要的元素，得到图片 8 。在图片 8 的下方，我们将所有的箭头都视为向量。现在我们假设两次爱意向同一个点发射（图片 8 中的小叉叉），进而由前述摆放条件可知补充爱意后的入射点位于补充爱意前的入射点水平平移向量 \vec{s} 的位置上。现在我们将左边箭矢的起点与右边箭矢的起点移动到一起，然后我们用右边箭矢所对应的向量减去左边箭矢所对应的向量，这样得到的是图片 8 中绿色的向量。然后我们再将绿色的这个向量移回到补充爱意之前的入射点处。我们发现这个绿色的向量与向量 \vec{s} 之间的夹角小于 90^{\circ} 。
噗。。。说了一大堆，就得到这样一个结论？那怎么可能，这只是最表层的结论。等等，忘了个事，继续之前，我们需要为图片 8 中的向量们起好名字。它们的名字我都写在图片 9 里面啦：
言归正传，两个向量之间的夹角小于 90^{\circ} ，说明这两个向量的标量积为正呀！即：
\vec{d}\cdot \vec{s}=\left(\vec{b}-\vec{a}\right)\cdot\vec{s}=\vec{b}\cdot \vec{s}-\vec{a}\cdot \vec{s}>0.\tag{2.1}
这又能说明啥呢？这说明了： 向量 \vec{d} 在向量 \vec{s} 方向上的投影与向量 \vec{s} 的方向一致呀！ 也就是说， 调整角度之后，沿着向量 \vec{s} 方向的爱意（即有效爱意）增加了呀 ～
如果交换向量 \vec{a} 与向量 \vec{b} 的角色，那么可惜，此时 沿着向量 \vec{s} 方向的爱意就减少了 。如图片 10 所示。
现在我们可以把之前的美梦彻底忘掉了，因为我们已经从中得到了初步的结论。下面我们要做稍微抽象一点的工作了。要计算了吗？不，还早呢。
揉揉眼，现在我们要回到平面上来啦。作为过渡，我们先来简单的抽象化一下刚才的结论：
在图片 11 中，向量 \vec{a} 为点 (x_1,y_1) 所对应的向量（可以将其视为某平面向量场 \vec{f}(x,y) 在点 (x_1,y_1) 的值），而点点 (x_2,y_2) 所对应的向量（可以将其视为同一个平面向量场 \vec{f}(x,y) 在点 (x_2,y_2) 的值）却不尽相同。
下面我们要来搞点计算了（说是搞计算，实则「瞎扯淡」）。别走，都是简单的「扯淡」。
在图片 12 中， \vec{f}(x_0,y_0) 表示的是向量场在点 (x_0,y_0) 对应的值，且 \vec{f}(x_0+\Delta x,y_0) 表示的是向量场在点 (x_0+\Delta x,y_0) 对应的值。现在我们想知道向量 \vec{f}(x_0,y_0) 里到底有多少部分真正通过了线段 a ，而向量 \vec{f}(x_0+\Delta x,y_0) 里到底又有多少部分真正通过了线段 b 。
这一点其实比较明显，如果我们将向量 \vec{f}(x_0,y_0) 与向量 \vec{f}(x_0+\Delta x,y_0) 分别沿着竖直方向与水平方向进行分解的话会发现，向量 \vec{f}(x_0,y_0) 真正通过线段 a 的部分只有紫色分量（水平分量），同理，向量 \vec{f}(x_0+\Delta x,y_0) 真正通过线段 b 的部分只有橙色分量（水平分量），而绿色分量和黄色分量分别被线段 a 和线段 b 「吸收了」。
在进一步之前，我们不妨先设平面向量 \vec{f}(x_0,y_0) 与 \vec{f}(x_0+\Delta x,y_0) 分别为：
\vec{f}(x_0,y_0) :=\begin{pmatrix} f_{x}(x_0,y_0) \\ f_{y}(x_0,y_0) \end{pmatrix},\quad \vec{f}(x_0+\Delta x,y_0) :=\begin{pmatrix} f_{x}(x_0+\Delta x,y_0) \\ f_{y}(x_0+\Delta x,y_0) \end{pmatrix}.\tag{2.2}
现在我们来做一件事，将平面向量 \vec{f}(x_0,y_0) 与 \vec{f}(x_0+\Delta x,y_0) 的水平分量 f_{x}(x_0+\Delta x,y_0) 与 f_{x}(x_0,y_0) 都乘以线段 a （或线段 b ）的长度 \Delta y ，然后再做差：
f_{x}(x_0+\Delta x,y_0)\cdot\Delta y-f_{x}(x_0,y_0)\cdot\Delta y=\left(f_{x}(x_0+\Delta x,y_0)-f_{x}(x_0,y_0)\right)\cdot\Delta y\tag{2.3}.
然后我们给式 (2.3) 补上一个 \Delta x\ne 0 ，即：
\left(f_{x}(x_0+\Delta x,y_0)-f_{x}(x_0,y_0)\right)\cdot\Delta y=\frac{f_{x}(x_0+\Delta x,y_0)-f_{x}(x_0,y_0)}{\Delta x}\cdot\Delta x\cdot\Delta y \tag{2.4}.
我们将 \left(f_{x}(x_0+\Delta x,y_0)-f_{x}(x_0,y_0)\right)\cdot\Delta y 定义为： 水平方向上高度为 y_0 处的流出量 。显然，在式 (2.4) 中 \Delta x\cdot\Delta y 表示的是矩形图片 12 中以 \Delta x 为长，\Delta y 为宽的矩形的面积，我们给它起一个新的名字： \Delta x\cdot\Delta y :=\Delta A 。
好，暂时打住。我们先回过头来研究一下式 (2.4) 。对于这个式子，我们可以分为以下三种情况进行讨论：
-
f_{x}(x_0+\Delta x,y_0)-f_{x}(x_0,y_0)>0
根据之前我们得到的初步结论可推得，这种情况下向量 \vec{f}(x_0+\Delta x,y_0) 在水平方向上的投影做的是正的贡献。也就是说这种情况下成立：
f_{x}(x_0+\Delta x,y_0)\cdot\Delta y>f_{x}(x_0,y_0)\cdot\Delta y.\tag{2.5}
这说明了水平方向上的高度 y_0 处的流出量为正。
-
f_{x}(x_0+\Delta x,y_0)-f_{x}(x_0,y_0)<0
根据之前我们得到的初步结论可推得，这种情况下向量 \vec{f}(x_0+\Delta x,y_0) 在水平方向上的投影做的是负的贡献。也就是说这种情况下成立：
f_{x}(x_0+\Delta x,y_0)\cdot\Delta y<f_{x}(x_0,y_0)\cdot\Delta y.\tag{2.6}
这说明了水平方向上的高度 y_0 处的流出量为负。
-
f_{x}(x_0+\Delta x,y_0)-f_{x}(x_0,y_0)=0
这种情况下向量 \vec{f}(x_0+\Delta x,y_0) 在水平方向上的投影做的是零贡献。也就是说这种情况下成立：
f_{x}(x_0+\Delta x,y_0)\cdot\Delta y=f_{x}(x_0,y_0)\cdot\Delta y.\tag{2.7}
这说明了水平方向上的高度 y_0 处的流出量为零。
现在我们来搞搞 y 方向上的计算。
在图片 13 中， \vec{f}(x_0,y_0) 表示的是向量场在点 (x_0,y_0) 对应的值，且 \vec{f}(x_0,y_0+\Delta y) 表示的是向量场在点 (x_0,y_0+\Delta y) 对应的值。现在跟之前的情况就有所不同了，如果我们将向量 \vec{f}(x_0,y_0) 与向量 \vec{f}(x_0,y_0+\Delta y) 分别沿着竖直方向与水平方向进行分解的话会发现，向量 \vec{f}(x_0,y_0) 真正通过线段 a 的部分只有绿色分量（竖直分量），同理，向量 \vec{f}(x_0,y_0+\Delta y) 真正通过线段 b 的部分只有黄色分量（竖直分量），而紫色分量和橙色分量分别被线段 a 和线段 b 「吸收了」。
在进一步之前，我们不妨先设平面向量 \vec{f}(x_0,y_0) 与 \vec{f}(x_0,y_0+\Delta y) 分别为：
\vec{f}(x_0,y_0) :=\begin{pmatrix} f_{x}(x_0,y_0) \\ f_{y}(x_0,y_0) \end{pmatrix},\quad \vec{f}(x_0,y_0+\Delta y) :=\begin{pmatrix} f_{x}(x_0,y_0+\Delta y) \\ f_{y}(x_0,y_0+\Delta y) \end{pmatrix}.\tag{2.8}
现在我们来做一件事，将平面向量 \vec{f}(x_0,y_0) 与 \vec{f}(x_0,y_0+\Delta y) 的竖直分量 f_{y}(x_0,y_0+\Delta y) 与 f_{y}(x_0,y_0) 都乘以线段 a （或线段 b ）的长度 \Delta x ，然后再做差：
f_{y}(x_0,y_0+\Delta y) \cdot\Delta x-f_{y}(x_0,y_0)\cdot\Delta x=\left(f_{y}(x_0,y_0+\Delta y) -f_{y}(x_0,y_0)\right)\cdot\Delta x\tag{2.9}.
然后我们给式 (2.3) 补上一个 \Delta x\ne 0 ，即：
\left(f_{y}(x_0,y_0+\Delta y) -f_{y}(x_0,y_0)\right)\cdot\Delta x=\frac{f_{y}(x_0,y_0+\Delta y)-f_{y}(x_0,y_0)}{\Delta y}\cdot\Delta x\cdot\Delta y \tag{2.10}.
我们将 \left(f_{x}(x_0,y_0+\Delta y) -f_{x}(x_0,y_0)\right)\cdot\Delta x 定义为： 竖直方向上水平为 x_0 处的流出量 。同理， \Delta x\cdot\Delta y :=\Delta A 。
我们还是回过头来研究一下式 (2.10) 。对于这个式子，我们可以分为以下三种情况进行讨论：
-
f_{y}(x_0,y_0+\Delta y)-f_{y}(x_0,y_0)>0
根据之前我们得到的初步结论可推得，这种情况下向量 \vec{f}(x_0,y_0+\Delta y) 在竖直方向上的投影做的是正的贡献。也就是说这种情况下成立：
f_{y}(x_0,y_0+\Delta y)\cdot\Delta x>f_{y}(x_0,y_0)\cdot\Delta x.\tag{2.11}
这说明了竖直方向上水平为 x_0 处的流出量为正。
-
f_{y}(x_0,y_0+\Delta y)-f_{y}(x_0,y_0)<0
根据之前我们得到的初步结论可推得，这种情况下向量 \vec{f}(x_0,y_0+\Delta y) 在竖直方向上的投影做的是负的贡献。也就是说这种情况下成立：
f_{y}(x_0,y_0+\Delta y)\cdot\Delta x<f_{y}(x_0,y_0)\cdot\Delta x.\tag{2.12}
这说明了竖直方向上水平为 x_0 处的流出量为负。
-
f_{y}(x_0,y_0+\Delta y)-f_{y}(x_0,y_0)=0
这种情况下向量 \vec{f}(x_0,y_0+\Delta y) 在竖直方向上的投影做的是零贡献。也就是说这种情况下成立：
f_{y}(x_0,y_0+\Delta y)\cdot\Delta x=f_{y}(x_0,y_0)\cdot\Delta x.\tag{2.13}
这说明了竖直方向上水平为 x_0 处的流出量为零。
现在两个方向上的计算以及相应的讨论都做完了，下面该干啥了呀？现在我们还是看回式 (2.4) 与式 (2.10) ，不过这次我们只看两者的右半边。当然光看啥也看不出来，我们 xue 微做一下处理：
\frac{f_{x}(x_0+\Delta x,y_0)-f_{x}(x_0,y_0)}{\Delta x}\cdot\Delta x\cdot\Delta y =\left(\left(f_{x}(x_0+\Delta x,y_0)-f_{x}(x_0,y_0)\right)\cdot\Delta x\right)\cdot\frac{\Delta y}{\Delta x}\tag{2.14}.
\frac{f_{y}(x_0,y_0+\Delta y)-f_{y}(x_0,y_0)}{\Delta y}\cdot\Delta x\cdot\Delta y =\left(\left(f_{y}(x_0,y_0+\Delta y)-f_{y}(x_0,y_0)\right)\cdot\Delta y\right)\cdot\frac{\Delta x}{\Delta y}\tag{2.15}.
变形之后有啥好处呢？好处就是出现了标量积：
\begin{array}{ll} & \display style{\left(f_{x}(x_0+\Delta x,y_0)-f_{x}(x_0,y_0)\right)\cdot\Delta x} \\ =& \display style{f_{x}(x_0+\Delta x,y_0)\cdot\Delta x-f_{x}(x_0,y_0)\cdot\Delta x} \\ =& \display style{\begin{pmatrix} f_x(x_0+\Delta x,y_0)\\ f_y(x_0+\Delta x,y_0) \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} \Delta x\\ 0 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} f_x(x_0,y_0)\\ f_y(x_0,y_0) \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} \Delta x\\ 0 \end{pmatrix}} \end{array}\tag{2.16}
以及：
\begin{array}{ll} & \display style{\left(f_{y}(x_0,y_0+\Delta y)-f_{y}(x_0,y_0)\right)\cdot\Delta y} \\ =& \display style{f_{y}(x_0,y_0+\Delta y)\cdot\Delta y-f_{x}(x_0,y_0)\cdot\Delta y} \\ =& \display style{\begin{pmatrix} f_x(x_0,y_0+\Delta y)\\ f_y(x_0,y_0+\Delta y) \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 0\\ \Delta y \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} f_x(x_0,y_0)\\ f_y(x_0,y_0) \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 0\\ \Delta y \end{pmatrix}} \end{array}\tag{2.17}
这两个标量积恰好是之前所说的 差向量 与 各自平移向量 的标量积（作为练习，请大家自行在图中指出上述两个向量）。有了这两个标量积之后现在我们整合一下之前的说法。对于 x 方向上的计算：
- f_{x}(x_0+\Delta x,y_0)-f_{x}(x_0,y_0)>0 蕴涵了标量积 (2.16) 为正，此时水平方向上的高度 y_0 处的流出量为正；
- f_{x}(x_0+\Delta x,y_0)-f_{x}(x_0,y_0)<0 蕴涵了标量积 (2.16) 为负，此时水平方向上的高度 y_0 处的流出量为负；
- f_{x}(x_0+\Delta x,y_0)-f_{x}(x_0,y_0)=0 蕴涵了标量积 (2.16) 为零，此时水平方向上的高度 y_0 处的流出量为零；
对于 y 方向上的计算：
- f_{y}(x_0,y_0+\Delta y)-f_{y}(x_0,y_0)>0 蕴涵了标量积 (2.17) 为正，此时竖直方向上水平为 x_0 处的流出量为正；
- f_{y}(x_0,y_0+\Delta y)-f_{y}(x_0,y_0)<0 蕴涵了标量积 (2.17) 为负，此时竖直方向上水平为 x_0 处的流出量为负；
- f_{y}(x_0,y_0+\Delta y)-f_{y}(x_0,y_0)=0 蕴涵了标量积 (2.17) 为零，此时竖直方向上水平为 x_0 处的流出量为零；
别着急出锅哦，还差一味佐料。这味佐料谓之——求和。我们将没处理前的式 (2.4) 与式 (2.10) 求和可得：
\begin{array}{ll} & \display style{\frac{f_{x}(x_0+\Delta x,y_0)-f_{x}(x_0,y_0)}{\Delta x}\cdot\Delta x\cdot\Delta y +\frac{f_{y}(x_0,y_0+\Delta y)-f_{y}(x_0,y_0)}{\Delta y}\cdot\Delta x\cdot\Delta y} \\ =& \display style{\left(\frac{f_{x}(x_0+\Delta x,y_0)-f_{x}(x_0,y_0)}{\Delta x}+\frac{f_{y}(x_0,y_0+\Delta y)-f_{y}(x_0,y_0)}{\Delta y}\right)\cdot\Delta A} \end{array} .\tag{2.18}
现在我们不固定点了，也就是把式 (2.18) 中的点 (x_0,y_0) 换成 (x,y) ，换完之后就变成了：
\Psi:=\left(\frac{f_{x}(x+\Delta x,y)-f_{x}(x,y)}{\Delta x}+\frac{f_{y}(x,y+\Delta y)-f_{y}(x,y)}{\Delta y}\right)\cdot\Delta A\tag{2.19}.
此时我们也不需要在固定点描述流出量了。因此式 (2.19) 表示的就是向量场 \vec{f}(x,y) 在图片 12 (或图片 13 )中的矩形的总流出量。显然，总流出量的值也分为三种情况：
- 总流出量 \Psi>0 。此时向量场 \vec{f}(x,y) 在图片 12 (或图片 13 )中的矩形中具有 发散倾向 ；
- 总流出量 \Psi<0 。此时向量场 \vec{f}(x,y) 在图片 12 (或图片 13 )中的矩形中具有 汇聚倾向 ；
- 总流出量 \Psi=0 。此时向量场 \vec{f}(x,y) 在图片 12 (或图片 13 )中的矩形中既不具有汇聚倾向，也不具有发散倾向。
进而单位面积的总流出量为：
\frac{\Psi}{\Delta A}:=\overline{\Psi}_{\Delta A}=\frac{f_{x}(x+\Delta x,y)-f_{x}(x,y)}{\Delta x}+\frac{f_{y}(x,y+\Delta y)-f_{y}(x,y)}{\Delta y}\tag{2.20}.
截止到目前，还都是一些「宏观的」计算和讨论。现在我们考虑向量场 \vec{f}(x,y) 在点 (x,y) 「附近」的发散和汇聚程度。
为此我们可以对式 (2.20) 的两侧取 \Delta x,\,\Delta y\to0 的极限值：
\begin{array}{ll} \display style{\lim_{\Delta x,\,\Delta y\to0}\frac{\Psi}{\Delta A}} & \display style{=\lim_{\Delta x\to0,\,\Delta y=0}\frac{f_{x}(x+\Delta x,y)-f_{x}(x,y)}{\Delta x}+\lim_{\Delta x=0,\,\Delta y\to0}\frac{f_{y}(x,y+\Delta y)-f_{y}(x,y)}{\Delta y}} \\ & \display style{=\frac{\partial}{\partial x}f_{x}(x,y)+\frac{\partial}{\partial y}f_{y}(x,y)}.\tag{2.21} \end{array}
在式 (2.21) 中由偏导数的定义有：
\lim_{\Delta x\to0,\,\Delta y=0}\frac{f_{x}(x+\Delta x,y)-f_{x}(x,y)}{\Delta x}=\frac{\partial}{\partial x}f_{x}(x,y),\quad \lim_{\Delta x=0,\,\Delta y\to0}\frac{f_{y}(x+\Delta x,y)-f_{y}(x,y)}{\Delta y}=\frac{\partial}{\partial y}f_{y}(x,y).\tag{2.22}
最终有：
\boxed{\lim_{\Delta x,\,\Delta y\to0}\frac{\Psi}{\Delta A}=\lim_{\Delta A\to 0}\overline{\Psi}_{\Delta A}=\frac{\partial}{\partial x}f_{x}(x,y)+\frac{\partial}{\partial y}f_{y}(x,y)}.\tag{2.23}
也就是说：
- \lim_{\Delta A\to 0}\overline{\Psi}_{\Delta A}>0 ，此时向量场 \vec{f}(x,y) 点 (x,y) 「附近」具有 发散倾向 。并且，该值越大，向量场 \vec{f}(x,y) 点 (x,y) 「附近」的发散程度越大；
- \lim_{\Delta A\to 0}\overline{\Psi}_{\Delta A}<0 ，此时向量场 \vec{f}(x,y) 点 (x,y) 「附近」具有 汇聚倾向 。并且，该值越小，向量场 \vec{f}(x,y) 点 (x,y) 「附近」的汇聚程度越大；
- \lim_{\Delta A\to 0}\overline{\Psi}_{\Delta A}=0 ，此时向量场 \vec{f}(x,y) 点 (x,y) 「附近」既不具有汇聚倾向，也不具有发散倾向。
为了描述这种 发散或者汇聚的程度 ，我们引入一个新的名词，相信我不说大家也知道它是什么了，没错，都说到现在了，只能是 散度(divergence) 了。
第一波计算算是告一段落了，是时候做一次全面的整合了。
刚才我们导出的式 (2.23) 是平面向量场的散度。但是式 (2.23) 左侧的记号不是很好看，我们现在给它换一个好看的算符：
\lim_{\Delta x,\,\Delta y\to0}\frac{\Psi}{\Delta A}=\lim_{\Delta A\to 0}\overline{\Psi}_{\Delta A}=\frac{\partial}{\partial x}f_{x}(x,y)+\frac{\partial}{\partial y}f_{y}(x,y):=\vec{\bigtriangledown}\cdot\vec{f}\tag{2.24}
这个倒三角算子称为 Nabla—算子 ，它的名字来自希腊语中一种被称为纳布拉琴的竖琴。平面上的 Nabla 算子的具体形式是：
\vec{\bigtriangledown}=\begin{pmatrix} \dfrac{\partial}{\partial x}\\ \dfrac{\partial}{\partial y} \end{pmatrix}.\tag{2.25}
它是一个向量微分算子。并且，我们在式 (2.24) 中看到了标量积。我们将散度记作 Nabla 算子与向量场 \vec{f} 的标量积形式并非空穴来风，回溯一下，之前反复提到的差向量与平移向量的标量积的正负可以反映出平移方向上的流出量的正负，将这些不同方向上的流出量求和可以反映出向量场在「某一块区域」上总的流出量的正负，进而反映出向量场在该「区域」上的发散或汇聚倾向，而当所考察的区域充分小的时候反映的则是在考察点「附近」的向量场的发散或汇聚倾向，因此我们可以说：
差向量与平移向量的标量积在散度为正时 倾向 为正，反之亦然。
注意，上面我用了「倾向」一词，而不是「一定」。这里我可能又得废话一句了。
为啥是倾向而不是一定呢？因为 总流出量为正并不能说明某一方向上的流出量不能为负呀 。
我废话完了。
不过只停留在平面上多没意思，高一个维度试试？走着。
高一个维度之后向量场也会长高一节：
\vec{f}\left(x,y,z\right):=\begin{pmatrix} f_{x}(x,y,z)\\ f_{y}(x,y,z)\\ f_{z}(x,y,z) \end{pmatrix}\tag{2.26}.
没错，他还胖了一圈。长大之后的向量场 \vec{f} 已经不满足于穿过平面上的线段了，它要穿过空间上的平面！
不对，拿错武器了：
类比之前对平面向量场的分析可知，向量场 \vec{f}(x,y,z) 在图片 14 中的长方体中的总流出量为：
\begin{array}{ll} \display style{\Psi} & \display style{:=\left({f_{x}(x+\Delta x,y,z)-f_{x}(x,y,z)}\right)\cdot{\Delta y}\cdot\Delta z}\\ & \display style{+\left({f_{y}(x,y+\Delta y,z)-f_{y}(x,y,z)}\right)\cdot{\Delta x}\cdot\Delta z}\\ & \display style{+\left({f_{z}(x,y,z+\Delta z)-f_{z}(x,y,z)}\right)\cdot{\Delta x}\cdot\Delta y} \end{array}\tag{2.27}.
如果记该长方体的体积为 \Delta V=:\Delta x\cdot \Delta y\cdot \Delta z ，我们可以将式 (2.27) 写为：
\Psi:=\left(\frac{f_{x}(x+\Delta x,y,z)-f_{x}(x,y,z)}{\Delta x}+\frac{f_{y}(x,y+\Delta y,z)-f_{y}(x,y,z)}{\Delta y}+\frac{f_{z}(x,y,z+\Delta z)-f_{z}(x,y,z)}{\Delta z}\right)\cdot\Delta V\tag{2.28}.
进而单位体积的总流出量为：
\frac{\Psi}{\Delta V}:=\overline{\Psi}_{\Delta V}:=\frac{f_{x}(x+\Delta x,y,z)-f_{x}(x,y,z)}{\Delta x}+\frac{f_{y}(x,y+\Delta y,z)-f_{y}(x,y,z)}{\Delta y}+\frac{f_{z}(x,y,z+\Delta z)-f_{z}(x,y,z)}{\Delta z}.\tag{2.29}
现在对式 (2.29) 我们同样取 \Delta V\to 0 时的极限可得：
\begin{array}{ll} \display style{\lim_{\Delta V\to 0}\frac{\Psi}{\Delta V}} & \display style{=\lim_{\Delta x\to 0,\,\Delta y,\,\Delta z=0}\frac{f_{x}(x+\Delta x,y,z)-f_{x}(x,y,z)}{\Delta x}} \\ & \display style{+\lim_{\Delta y\to 0,\,\Delta x,\,\Delta z=0}\frac{f_{y}(x,y+\Delta y,z)-f_{y}(x,y,z)}{\Delta y}} \\ & \display style{+\lim_{\Delta z\to 0,\,\Delta x,\,\Delta y=0}\frac{f_{z}(x,y,z+\Delta z)-f_{z}(x,y,z)}{\Delta z}} \end{array}.\tag{2.30}
则由偏导数的定义：
\begin{array}{ll} \display style{\frac{\partial}{\partial x}f_x(x,y,z)} & \display style{=\lim_{\Delta x\to 0,\,\Delta y,\,\Delta z=0}\frac{f_{x}(x+\Delta x,y,z)-f_{x}(x,y,z)}{\Delta x}} \\ \display style{\frac{\partial}{\partial y}f_y(x,y,z)} & \display style{=\lim_{\Delta y\to 0,\,\Delta x,\,\Delta z=0}\frac{f_{y}(x,y+\Delta y,z)-f_{y}(x,y,z)}{\Delta y}} \\ \display style{\frac{\partial}{\partial z}f_z(x,y,z)} & \display style{=\lim_{\Delta z\to 0,\,\Delta x,\,\Delta y=0}\frac{f_{z}(x,y,z+\Delta z)-f_{z}(x,y,z)}{\Delta z}} \end{array}\tag{2.31}
也就是说：
\boxed{\lim_{\Delta V\to 0}\frac{\Psi}{\Delta V}=\frac{\partial}{\partial x}f_x(x,y,z)+\frac{\partial}{\partial y}f_y(x,y,z)+\frac{\partial}{\partial z}f_z(x,y,z).}\tag{2.32}
与平面向量场一样，取 \Delta V\to 0 时的极限得到的是向量场 \vec{f}(x,y,z) 在考察点「附近」的发散或者汇聚的程度。而且非常棒的一点是，之前所述的差向量与平移向量的标量积的观点此处也是适用的，大家不妨自己思考一下。
定义空间中的 Nabla-算符之后：
\vec{\bigtriangledown}=\begin{pmatrix} \dfrac{\partial}{\partial x}\\ \dfrac{\partial}{\partial y}\\\dfrac{\partial}{\partial z} \end{pmatrix}\tag{2.33}
我们可以将向量场 \vec{f}(x,y,z) 的散度写为：
\vec{\bigtriangledown}\cdot\vec{f}(x,y,z)=\frac{\partial}{\partial x}f_x(x,y,z)+\frac{\partial}{\partial y}f_y(x,y,z)+\frac{\partial}{\partial z}f_z(x,y,z).\tag{2.34}
散度算是介绍完了。不过你以为要闭幕啦？还早呢，压轴好戏即将上演。
终于来到了 Gauß 散度定理
咋办咋办咋办，我该怎么解释散度定理？
我们需要一味原材料，它是我们刚才多次提到的流出量 \Psi ，不过这里我们要给它改个名字 — 通量 ， 并且为了正式一点，我们也给它换个记号 \Phi 。通量这个名字还是很形象的，顾名思义，通量就是指通过的量嘛，在之前的分析中我们也发现，在计算一个向量场通过一个平面的通量时，我们所取的是向量场中与该平面正交的分量，因为只有这一部分才是向量场真正通过这个平面的量。现在我们就要想了：该如何计算向量场通过一个面（这个面可以是（封闭的）平面，也可以是（封闭的）曲面）的通量呢？
先给图片 15 打碎，再取一面积 \Delta A_j 。现在假设，假设啊，有一个向量场 \vec{f} 从 \Delta A_j 的后面穿出来，我们将这个向量场垂直于 \Delta A_j 的分量记作 f_{\Delta A_j}^{\bot} ，那么显然，向量场 \vec{f} 通过面积 \Delta A_j 的通量为：
\Phi_{\Delta A_j}=f_{\Delta A_j}^{\bot}\cdot\Delta A_j.\tag{2.35}
但是现在有一个问题，就是 f_{\Delta A_j}^{\bot} 这种表达方式实在是不简洁。我们不就是要表达向量场 \vec{f} 垂直于 \Delta A_j 的分量吗？那么标量积就是一个趁手的工具呀。也就是说，我们可以将向量场 \vec{f} 向 \Delta A_j 的法向投影。这样的话就需要给 \Delta A_j 一个方向了，我们可以将 \Delta A_j 记作向量形式：
\Delta \vec{A}_j:=\vec{\hat{n}}_{\Delta{A}_j}\cdot \Delta{A}_j\tag{2.36}.
其中 \vec{\hat{n}}_{\Delta{A}_j} 表示的是 \Delta A_j 的 单位法向量 ，它给出了 \Delta A_j 的方向。由此，当我们将向量场 \vec{f} 向 \Delta A_j 的法向投影时，成立：
f_{\Delta A_j}^{\bot}=\vec{f}\cdot\vec{\hat{n}}_{\Delta{A}_j}.\tag{2.37}
进而向量场 \vec{f} 通过面积 \Delta A_j 的通量为：
\Phi_{\Delta A_j}=f_{\Delta A_j}^{\bot}\cdot\Delta A_j=\vec{f}\cdot\vec{\hat{n}}_{\Delta{A}_j}\cdot\Delta A_j=\vec{f}\cdot\Delta \vec{A}_j.\tag{2.38}
那么向量场 \vec{f} 穿过「还真有你的」的总通量该如何计算呢？对 j （即对所有碎片）求和就完事儿了：
\Phi_A^*=\sum_j\Phi_{\Delta A_j}=\sum_j\vec{f}\cdot\Delta \vec{A}_j.\tag{2.39}
如果我们把图片 15 再整稀碎一点呢？
那么之前的 \Delta A_j 不复存在了，取而代之的是更小的 \Delta A_j ，你看，字都变小了是不是？那么当 \Delta A_j 变得再小一点，再小一点，再小一点意味着什么呢？是不是就意味着「还真有你的」碎成了无穷多个渣渣，也就是说有无穷多个无限小的 \Delta A_j （即 \Delta A_j\to 0 ）。那么此时穿过「还真有你的」的总通量就是：
\Phi_A:=\lim_{j\to+\infty}\Phi_A^*=\lim_{j\to+\infty}\sum_j\Phi_{\Delta A_j}=\lim_{j\to+\infty}\sum_j\vec{f}\cdot\Delta \vec{A}_j.\tag{2.40}
换个记号：
\boxed{\Phi_A=\lim_{j\to+\infty}\sum_j\vec{f}\cdot\Delta \vec{A}_j=\int_{A}\vec{f}\cdot\mathrm{d}\vec{A}.}\tag{2.41}
有些情况下我们也将 \int_{A}\vec{f}\cdot\mathrm{d}\vec{A} 中的点乘省掉，直接记作 \int_{A}\vec{f}\,\mathrm{d}\vec{A} 。其中 \int_{A}\vec{f}\,\mathrm{d}\vec{A} 称为 向量场 \vec{f} 的曲面积分 ，或者称为 第二类曲面积分 。也就是说： 向量场 \vec{f} 穿过任意一个平面（或者曲面） A 的通量 \Phi_{A} 都可以通过向量场 \vec{f} 对 A 的曲面积分进行计算 。特别的，当曲面 A 是一个封闭曲面时，我们给积分号带一箍，记作：
\oint_{A}\vec{f}\,\mathrm{d}\vec{A}\tag{2.42}
这个箍没啥特殊的，只是为了区分对封闭曲面和非封闭曲面的曲面积分。
现在我们有了通量的一般算式了，即式 (2.41) 。现在我们将式 (2.34) 与式 (2.41) 一起代回到式 (2.32) 中会得到一个略显复杂的式子：
{\lim_{\Delta V\to 0}\frac{\display style{\int_{A}\vec{f}\,\mathrm{d}\vec{A}}}{\Delta V}=\vec{\bigtriangledown}\cdot\vec{f}.}\tag{2.43 ?}
哎，这里好像有点问题啊。如果曲面 A 不是封闭的，那么这里的体积 \Delta V 与曲面 A 有什么关系呢？
- 如果两者没有一点关系，那我们就不做讨论了。
-
如果此时的非封闭曲面 A
为体积 \Delta V
的某一个边界面，比如之前讨论时使用的长方体的某一个面，则由之前的讨论我们知道此时 \int_{A}\vec{f}\,\mathrm{d}\vec{A}
表示的是这一个面的通量，但是，这一个面的通量只对应了这一个面的「散度」。为啥呢？自己想吧哈哈哈哈哈。给个提示：考察 A:=\Delta y\cdot \Delta z
，以及 \Delta V=\Delta x\cdot\Delta y\cdot\Delta z
还有：
\Phi_x=\left({f_{x}(x+\Delta x,y,z)-f_{x}(x,y,z)}\right)\cdot{\Delta y}\cdot\Delta z\tag{2.44}.
在结合第一节末尾的讲解即可获得答案。
也就是说，如果 \Delta V 与曲面 A 没有什么特殊的关系的话式 (2.43) 是不成立的呀。还是之前长方体通量的例子，如果要将通量与散度通过式 (2.43) 那种形式联系起来，那么我们只需要让曲面 A 是 \Delta V 的「全部边界」就可以了。在长方体通量的例子中，「全部边界」指的就是长方体的六个面。此时我们将曲面 A 记作 \partial \Delta V ，表示它是 \Delta V 的「全部边界」。显然，这种情况下的曲面 A 是封闭的。因此，真正的式 (2.43) 应该为：
\lim_{\Delta V\to 0}\frac{\display style{\oint_{A=\partial\Delta V}\vec{f}\,\mathrm{d}\vec{A}}}{\Delta V}=\vec{\bigtriangledown}\cdot\vec{f}.\tag{real 2.43:=2.45}
式 (2.45) 其实已经隐藏了 Gauß 散度定理了，下面我就以一种启发性的方式来解释 Gauß 散度定理。在开始解释之前，首先约定：
闭合曲面的单位法向量总是指向外侧的。
首先让我来摆个阵法。
下面让我来简单介绍一下这个阵法。此阵法总共采用了七个相同的长方体进行布阵，位于阵法中心的长方体被标注了六个方向的单位法向量。如六个黑色箭头所示。它周围的六大护法分别位于其正前、正后、正上、正下、正左以及正右。并且在各个方向上标注了与中心长方体方向相反的单位法向量。且 f_{x,y,z} 分别表示向量场 \vec{f}(x,y,z) 在三个方向上的分量。
现在我们做一件事情：我们只看 x 方向。我们把中心长方体还有它的左右护法拼在一起，这样做会发生一个奇妙的现象，就是拼接面的单位法向量是反向的。
这说明了啥呢？这可太爽了，比如对于左边的拼接面来讲，向量场 \vec{f}(x,y,z) 的总通量为：
\Phi_{x,L}=f_x(x,y,z)\cdot \Delta y\cdot \Delta z-f_x(x,y,z)\cdot \Delta y\cdot \Delta z=0.\tag{2.46}
而对于右边的拼接面来讲，向量场 \vec{f}(x,y,z) 的总通量为：
\Phi_{x,R}=f_x(x+\Delta x,y,z)\cdot \Delta y\cdot \Delta z-f_x(x+\Delta x,y,z)\cdot \Delta y\cdot \Delta z=0.\tag{2.47}
嗯？！拼接面处的通量都消失啦！所以向量场 \vec{f}(x,y,z) 在水平方向的总通量为最左端与最右端面的通量之和，即：
\Phi_{x}=f_x(x-\Delta x,y,z)\cdot \Delta y\cdot \Delta z-f_x(x+2\cdot \Delta x,y,z)\cdot \Delta y\cdot \Delta z.\tag{2.48}
其他两个方向同理，就不再看啦。
经过这么一整我们最终可以发现，中心长方体的通量没有了！
当我们将图片 14 中的长方体进行切割时，会出现很多个拼接面。
这些拼接面的单位法向量方向都是相反的。 因此，向量场 \vec{f}(x,y,z) 对这些拼接面的通量都为零。于是，向量场 \vec{f}(x,y,z) 对体积 \Delta x\cdot \Delta y\cdot \Delta z 的通量仅由体积 \Delta x\cdot \Delta y\cdot \Delta z 的边界，即长方体的六个面决定 。
我之所以要讲这个问题，是因为我们马上可以直接「推导」 Gauß 散度定理。
在图片 18 中，我们将其中一个分割好的小体积记作 \Delta V_j:=\Delta x_j\cdot \Delta y_j\cdot \Delta z_j ，它的边界记作 \partial\Delta V_j 。现在让我们回到式 (2.28) 。并将通量 \Psi=\Phi 写为第二类曲面积分的形式：
\oint_{A=\part\Delta V_j}\vec{f}\,\mathrm{d}\vec{A}=\left(\frac{f_{x}(x+\Delta x_j,y,z)-f_{x}(x,y,z)}{\Delta x_j}+\frac{f_{y}(x,y+\Delta y_j,z)-f_{y}(x,y,z)}{\Delta y_j}+\frac{f_{z}(x,y,z+\Delta z_j)-f_{z}(x,y,z)}{\Delta z_j}\right)\cdot\Delta V_j\tag{2.49}
然后我们对图片 18 中的所有的小体积求和，即对 j 求和可得：
\sum_j\oint_{A=\part\Delta V_j}\vec{f}\,\mathrm{d}\vec{A}=\sum_j\left(\frac{f_{x}(x+\Delta x_j,y,z)-f_{x}(x,y,z)}{\Delta x_j}+\frac{f_{y}(x,y+\Delta y_j,z)-f_{y}(x,y,z)}{\Delta y_j}+\frac{f_{z}(x,y,z+\Delta z_j)-f_{z}(x,y,z)}{\Delta z_j}\right)\cdot\Delta V_j\tag{2.50}
当我们将图片 14 中的长方体分割成为无限多个小体积时，成立 j\to+\infty ，并且此时每个小体积的体积 \Delta V_j 也是趋于零的，因此当我们对式 (2.50) 的右侧求极限，并参考式 (2.30) 与式 (2.31) 时成立：
\begin{array}{ll} &\display style{\lim_{j\to +\infty}\sum_j\left(\frac{f_{x}(x+\Delta x_j,y,z)-f_{x}(x,y,z)}{\Delta x_j}+\frac{f_{y}(x,y+\Delta y_j,z)-f_{y}(x,y,z)}{\Delta y_j}+\frac{f_{z}(x,y,z+\Delta z_j)-f_{z}(x,y,z)}{\Delta z_j}\right)\cdot\Delta V_j}\\ =&\display style{\lim_{\Delta V_j\to 0}\sum_j\left(\frac{f_{x}(x+\Delta x_j,y,z)-f_{x}(x,y,z)}{\Delta x_j}+\frac{f_{y}(x,y+\Delta y_j,z)-f_{y}(x,y,z)}{\Delta y_j}+\frac{f_{z}(x,y,z+\Delta z_j)-f_{z}(x,y,z)}{\Delta z_j}\right)\cdot\Delta V_j}\\ = & \display style{\sum_j\lim_{\Delta V_j\to 0}\left(\frac{f_{x}(x+\Delta x_j,y,z)-f_{x}(x,y,z)}{\Delta x_j}+\frac{f_{y}(x,y+\Delta y_j,z)-f_{y}(x,y,z)}{\Delta y_j}+\frac{f_{z}(x,y,z+\Delta z_j)-f_{z}(x,y,z)}{\Delta z_j}\right)\cdot\Delta V_j} \\ =& \display style{\int_{V}\left(\frac{\partial}{\partial x}f_x(x,y,z)+\frac{\partial}{\partial y}f_y(x,y,z)+\frac{\partial}{\partial z}f_z(x,y,z)\right)\,\mathrm{d}V}\\ =& \display style{\int_{V}\vec{\bigtriangledown}\cdot \vec{f}\,\mathrm{d}V} \end{array}.\tag{2.51}
而当我们对式 (2.50) 取 j\to+\infty 的极限时成立：
\lim_{j\to+\infty}\sum_j\oint_{A_j=\partial\Delta V_j}\vec{f}\,\mathrm{d}\vec{A}_j=\lim_{j\to+\infty}\left(\oint_{A_1=\part\Delta V_1}\vec{f}\,\mathrm{d}\vec{A}_1+\oint_{A_1=\part\Delta V_2}\vec{f}\,\mathrm{d}\vec{A}_2+\ldots\right)=\oint_{\partial V}\vec{f}\,\mathrm{d}\vec{A}.\tag{2.52}
在式 (2.51) 与式 (2.52) 中， V 表示图片 14 中的长方体的体积，而 \partial V 表示的则是它的边界（即长方体的六个面）。在式 (2.52) 中，虽然我们将图片 14 中的长方体分割成了无限多个，但是这依然不妨碍向量场 \vec{f}(x,y,z) 对这些分割后的小体积的拼接面的通量为零。也就是说，无论我们将图片 14 中的长方体分割地多么细致，向量场 \vec{f}(x,y,z) 对它的通量也仅由其边界面决定。这就是式 (2.52) 成立的原因。
综上所述，联立式 (2.51) 和式 (2.52) 后最终成立：
\boxed{\int_{V}\vec{\bigtriangledown}\cdot \vec{f}\,\mathrm{d}V=\int_{\partial V}\vec{f}\,\mathrm{d}\vec{A}.}\tag{2.53}
式 (2.53) 就是著名的 Gauß 散度定理了。
参考
- ^https://www.bilibili.com/video/BV19s41157Z4?from=search&seid=16795908421145065898&spm_id_from=333.337.0.0
- ^ 平面向量场绘制 https://academo.org/demos/vector-field-plotter/
