1.关于「不存在一个时刻，使时针、分针、秒针互呈120°」的命题及其证明
设:
时针运动方程为 \theta_{1}=\omega_{1}t
分针运动方程为 \theta_{2}=\omega_{2}t
秒针运动方程为 \theta_{3}=\omega_{3}t
其中时间 t 以min为单位，则有
\omega_{1}=\frac{360^{°}}{12\times60min}=0.5^{°}/min
\omega_{2}=\frac{360^{°}}{60min}=6^{°}/min
\omega_{3}=\frac{360^{°}}{1min}=360^{°}/min
假设存在题述情形，即三针在某时刻互呈120°分布，则存在两类情形：
(1) 从秒针所在位置顺时针看去，依次为分针、时针；
(2) 从秒针所在位置顺时针看去，依次为时针、分针。
有方程组(a)：
\theta'_{3}=\theta_{0}+\omega_{3}t
\theta'_{2}=\theta_{0}\pm 120^{°}+360^{°}k_{1}+\omega_{2}t
\theta'_{1}=\theta_{0}\mp 120^{°}+360^{°}k_{2}+\omega_{1}t
其中， k_{1},k_{2}\in Z 。
对情形(1)，方程组(a)第二个方程中120°前取加号，第三个方程120°前取减号；
对情形(2)，方程组(a)第二个方程中120°前取减号，第三个方程120°前取加号。
令 \theta'_{1}=\theta'_{2}=\theta'_{3} ，联立得不定方程(b)：
t=\frac{\pm 240+720k}{11}
其中 k=k_{2}-k_{1}\in Z
由于表盘内容以 12h (即 720min )为最小正周期，因此将 t 范围限制为 [0,720min]
解不等式 0\leq \frac{\pm 240+720k}{11}\leq 720
对情形(1)，解得 k=0,1,2,...,10
对情形(2)，解得 k=1,2,3,...,11
因此，满足情形(1)对应不定方程的时刻在12小时内共出现11次，分别为：
| 序号(n=k+1) | 时 | 分 | 秒 |
|---|---|---|---|
| 1 | 0 | 21 | 49.[09] |
| 2 | 1 | 27 | 16.[36] |
| 3 | 2 | 32 | 43.[63] |
| 4 | 3 | 38 | 10.[90] |
| 5 | 4 | 43 | 38.[18] |
| 6 | 5 | 49 | 5.[45] |
| 7 | 6 | 54 | 32.[72] |
| 8 | 8 | 0 | 0 |
| 9 | 9 | 5 | 27.[27] |
| 10 | 10 | 10 | 54.[54] |
| 11 | 11 | 16 | 21.[81] |
（注：此处中括号表示无限循环小数的循环节，下同。）
满足情形(2)对应不定方程的时刻在12小时内共出现11次，分别为：
| 序号(n=k) | 时 | 分 | 秒 |
|---|---|---|---|
| 1 | 0 | 43 | 38.[18] |
| 2 | 1 | 49 | 5.[45] |
| 3 | 2 | 54 | 32.[72] |
| 4 | 4 | 0 | 0 |
| 5 | 5 | 5 | 27.[27] |
| 6 | 6 | 10 | 54.[54] |
| 7 | 7 | 16 | 21.[81] |
| 8 | 8 | 21 | 49.[09] |
| 9 | 9 | 27 | 16.[36] |
| 10 | 10 | 32 | 43.[63] |
| 11 | 11 | 38 | 10.[90] |
由于不定方程(b)成立为方程组(a)成立的必要不充分条件，因此上述22个解仅满足不定方程(b)，即仅能保证 k_{2}-k_{1} 为整数，不一定满足方程组(a)，即保证 k_{1},k_{2} 同时为整数。需要对上述解进行一次验证。
以情形(1) k=0 时为例，令 \theta_{0}=0 ，解得 k_{1}=k_{2}=\frac{697}{33} ，不满足约束条件，故舍去。
而事实上此时有：
\theta_{1} mod 360^{°}=\omega_{1} t mod 360^{°}=10.[90]^{°}
\theta_{2} mod 360^{°}=\omega_{2} t mod 360^{°}=130.[90]^{°}
\theta_{3} mod 360^{°}=\omega_{3} t mod 360^{°}=294.[54]^{°}
不满足题目要求。
同理可验证其余21个解 均不满足 要求，方程组(a)无解。
Q.E.D
2.最接近题目要求的近似解求解
设时针与分针夹角为 \delta_{1} ，分针与秒针夹角为 \delta_{2} ，时针与秒针夹角为 \delta_{3} ，并将其范围限制于 [0,180^{°}] 区间，定义偏差 e(t)=\sum_{i=1}^{3}{|\delta_{i}(t)-120^{°}|} ，以 1ms 为步长进行遍历搜寻偏差最小的时刻。
clear
;
omega_1
=
0.5
;
omega_2
=
6
;
omega_3
=
360
;
t
=
1
/
60000
:
1
/
60000
:
720
;
theta_1
=
omega_1
*
t
;
theta_2
=
omega_2
*
t
;
theta_3
=
omega_3
*
t
;
delta_1
=
180
-
abs
(
180
-
mod
((
theta_2
-
theta_1
),
360
));
% 感谢 @曹洪洋 朋友为代码优化作出的贡献
delta_2
=
180
-
abs
(
180
-
mod
((
theta_3
-
theta_2
),
360
));
delta_3
=
180
-
abs
(
180
-
mod
((
theta_3
-
theta_1
),
360
));
e
=
abs
(
delta_1
-
120
)
+
abs
(
delta_2
-
120
)
+
abs
(
delta_3
-
120
);
[
~
,
I
]=
min
(
e
);
T
=
t
(
I
);
h
=
floor
(
T
/
60
);
m
=
floor
(
T
-
60
*
h
);
s
=
60
*
(
T
-
60
*
h
-
m
);
基于所定义的偏差，应用MATLAB进行数值求解可以得出：
在0~12时范围内，最接近题目要求的一个近似解为 2时54分34秒548毫秒 ，此时时针与分针夹角约为 119.8331^{°} ，分针与秒针夹角约为 120.1668^{°} ，时针与秒针夹角约为 120.0001^{°} 。由于镜像映射不改变指针之间夹角，因此从初始条件（0时整）出发，指针逆时针旋转相同的角度对应的时刻 9时5分25秒452毫秒 也是此种偏差定义下的最优解。
另据 @xiaomm8341 朋友向我提出，应用Mathematica可以得到这两个答案的精确值： 2 时 54 分 34\frac{394}{719} 秒和 9 时 5 分 25\frac{325}{719} 秒。这样，对应的指针夹角分别优化为 119.8331^{°} , 120.1669^{°} , 120^{°} 。
由于题目并未规定最优解的指标，因此依本人观点，指标的确定可以是见仁见智的。除前述偏差定义方式外，也可以方差、标准差抑或是其他量作为寻找最优解的指标。基于不同指标，搜索到的最优解可能会不尽相同。
3.关于题目描述的讨论
根据题主的题目描述：「如果手表的时针、分针、秒针都是连续匀速转动的，即不是整格走的，可以找到一天中的某个时间，时针、分针、秒针两两互为 120^{°} 么？容许秒不为整数，但不可为无理数。那么有没有这样的时间呢？假设在零点整三针重合。如果没有的话，那最接近 120^{°} 的时间在哪里？」上述结论成立的前提是： 时针、分针、秒针连续运动 。事实上，机械钟表采用齿轮传动，所以指针运动方式为步进式。但是在步距角趋于0的极限条件下，指针可以近似为连续运动，也就适用于上述前提了。对于指针连续的钟表，在整个实数域都不存在夹角互为 120^{°} 的时刻，更遑论无理数集了。
相信以上两节内容已经可以解释题主的疑惑了。这一节将针对评论区部分朋友提出的「附加题」进行归纳和解答。
（1） 存在一种钟表，其秒针每秒步进 6^{°} ，而分针和时针连续运动。对于这种钟表，存在如题述的时刻吗？
不存在。
这是因为：如果只有秒针离散的话，那么秒针所在位置角度必为6的倍数；又因为分针和秒针相差 120^{°} ，所以分针所在位置也必为6的倍数。分针的这个位置，对应着整分钟的时刻，也就是说此时秒针必指向「12」，这是 前提 。那么分针和时针必分别指向「4」和「8」，这是 假设 。而时针指向整数位置时必须为整小时的时刻，分针必不可能指向「12」以外的位置，这是基于假设的 推论 。这样，前后出现了 矛盾 。所以在秒针离散，时针和分针连续的情形下，三针互呈 120^{°} 的时刻也是不存在的。
（2） 存在一种钟表，其秒针每秒步进 6^{°} ，分针每分钟步进 6^{°} ，时针每12分钟步进 6^{°} 。对于这种钟表，存在如题述的时刻吗？
存在。
例如：0时21分41秒，就是一个满足题目要求的解。
